形如函数y=ln(x+a)+x.x+b的性质解析及图像示意图画法步骤A8.docVIP

函数y=ln(x+1)+eq\f(3x,x+25)的性质及图像示意图

主要内容：

本文通过导数知识，解析函数y=ln(x+1)+eq\f(3x,x+25)的单调性、凸凹性等函数性质，并简要画出函数图像示意图。

主要步骤：

※.函数的定义域

根据函数特征，对于对数部分有x+1＞0，则：

x＞-1,

对于分数函数部分有x+25≠0，则：

x≠-25,

综合以上函数的定义域为(-1,+∞)。

※.函数的单调性

本处有函数的导数知识来解析，步骤如下：

y=ln(x+1)+eq\f(3x,x+25)，对x求一阶导数有：

eq\f(dy,dx)=eq\f(1,x+1)+eq\f(3(x+25-x),(x+25)2)=eq\f(1,x+1)+eq\f(75,(x+25)2),

因为x+1＞0，(x+25)2＞0，所以:

eq\f(dy,dx)=eq\f(1,x+1)+eq\f(75,(x+25)2)＞0，

则函数y在定义上为增函数。

※.函数的凸凹性

本处使用二次导数来解析函数的凸凹性，对一阶导数求导有：

eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(1,(x+1)2)-eq\f(75*2(x+25),(x+25)4)=-eq\f(1,(x+1)2)-eq\f(150,(x+25)3),

=-eq\f([(x+25)3+150(x+1)2],(x+1)2(x+25)3),

当x＞-1时1x+25=-1.00*1+25≈24.000,

所以eq\f(d2y,dx2)＜0，即函数为凸函数。

※.函数的五点图

x

-0.50

0

0.50

1.00

1.50

ln(x+1)

-0.69

0

0.41

0.69

0.92

3x

-1.50

0

1.50

3.00

4.50

x+25

24.50

25

25.50

26.00

26.50

y

-0.75

0

0.47

0.81

1.09

※.函数的示意图

y=ln(x+1)+eq\f(3x,x+25)

y

(1.50,1.09)

(1.00,0.81)

(0.50,0.47)

ox

(-0.50,-0.75)