2025年下学期初中数学基本国际空间设计创新组织竞赛试卷.docVIP

2025年下学期初中数学基本国际空间设计创新组织竞赛试卷

一、选择题（共10题，每题5分，共50分）

在空间直角坐标系中，点A(2,-3,4)关于坐标平面yOz对称的点的坐标是（）

A.(-2,-3,4)B.(2,3,4)C.(-2,3,-4)D.(2,-3,-4)

下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

A.三棱锥B.圆柱C.球体D.五棱柱

已知一个正方体的棱长为5cm，若将其表面全部涂成红色后切成棱长为1cm的小正方体，则三面涂色的小正方体有（）

A.6个B.8个C.12个D.24个

在空间中，过直线l外一点P与直线l平行的平面有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为6，则其侧面积为（）

A.24B.48C.72D.96

若两个球的表面积之比为4:9，则它们的体积之比为（）

A.2:3B.4:9C.8:27D.16:81

在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若AD=BC=6，EF=3√3，则AD与BC所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的体积为（）

A.12πB.15πC.18πD.24π

下列命题中正确的是（）

A.垂直于同一条直线的两条直线平行

B.平行于同一个平面的两条直线平行

C.若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则a//b

D.若平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l//β或l在β内

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则点A到平面MB1D1的距离为（）

A.√3/3B.2√3/3C.√6/3D.2√6/3

二、填空题（共6题，每题5分，共30分）

已知空间向量a=(1,2,-3)，b=(2,m,6)，若a⊥b，则m=______。

一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为______cm3。（注：此处实际考试中应有图形，本文略）

在正四面体ABCD中，棱长为2，则异面直线AB与CD的距离为______。

若平面α的一个法向量为n=(2,-1,3)，点P(1,2,-1)在平面α内，则点Q(3,1,4)到平面α的距离为______。

把半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面，则该圆锥的高为______。

在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量为______。

三、解答题（共5题，共70分）

（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，AA1=5，E是棱BB1的中点。

（1）建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标；

（2）求向量AE与向量A1C的夹角余弦值。

（14分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3。

（1）求证：BC⊥平面PAB；

（2）求二面角P-BC-A的正切值；

（3）求点A到平面PBC的距离。

（14分）已知一个几何体由圆柱和圆锥组合而成，圆柱的底面半径为2，高为4，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5。

（1）求该组合体的表面积；

（2）若用一个平行于底面的平面截该组合体，得到的截面面积为4π，求截面到圆柱下底面的距离。

（15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D是棱A1B1的中点。

（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；

（2）求异面直线AC1与CD所成角的余弦值；

（3）求三棱锥C1-ABD的体积。

（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，E、F分别是棱PB、PD的中点。

（1）求证：EF//平面ABCD；

（2）在棱PC上是否存在一点G，使得平面AEG⊥平面PCD？若存在，求出PG:GC的值；若不存在，请说明理由；

（3）求三棱锥E-ABD的体积。

四、创新设计题（共30分）

（30分）某中学计划建造一个校园数学主题雕塑，要求如下：

（1）雕塑主体由三个基本几何体组合而成，且每个几何体的体积不小于1m3；

（2）雕塑总高度不超过5m，占地面积不超过4m2；

（3）需体现空间几何元素的对称性与和谐性。

请完成以下任务：

（1）设计三个基本几何体的组合方案，画出示意图并标注尺寸；

（2）计算每个几何体的体积及雕塑总体积；

（3）若采用不锈钢材料制作（密度为7.9×103kg/m3），估算雕塑的质量；

（4）从数学角度说明设计方案的创新性与合理