线性代数电子教案 2.1 矩阵概述、矩阵的运算.docVIP

第二章矩阵

第1次课程教案2课时

教学内容

矩阵概述、矩阵的运算

教学目标

理解矩阵相关的概念；

2.能够理解矩阵与行列式的区别；

3.掌握矩阵加减法、矩阵数乘运算及性质.

重点难点

矩阵的概念；

矩阵的线性运算.

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动设计

思政

映射点

导入

（5分）

案例导入：某省有三个产地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ生产煤矿，运往四个销地甲、乙、丙、丁，调配方案如下表：

调运量表(单位：千吨)

销

产地

地

甲

乙

丙

丁

Ⅰ

2

1

4

3

Ⅱ

4

１

２

1

Ⅲ

1

５

１

4

则表中的数据可构成一个三行四列的数表，为了表示它是一个整体，加一个括号将它括起来，这样的数表称为矩阵，矩阵中每一个数据(元素)都表示煤矿从某个产地运往某个销地的吨数．

学生思考

学生回答

体会科学的方法论中严谨，实事求是的重要性，培养科学思维方式

正文讲授

（75分）

2.1矩阵概述

矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念．矩阵的引入为许多实际的问题研究提供方便.

2.1.1矩阵的概念

定义1由个数排成的行列数表，并用括号括起来

或

称为行列矩阵,简称矩阵,通常用大写字母表示矩阵.

其中表示矩阵中第行、第列的元素,一个矩阵可以简记为

.

注：（1）元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中除特别说明,外，均指实矩阵.

（2）矩阵不可写成

.

（3）当时，即，此时矩阵退化为一个数.

2.1.2几种特殊形式的矩阵

（1）行矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量.

注：为避免元素之间混淆,也可将行矩阵记为.

（2）列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量.

注：列矩阵也可记为.

（3）零矩阵

所有元素全为零的矩阵称为零矩阵,零矩阵记为或简记为.

（4）方阵

对矩阵,当时,称为阶方阵,记作或,即

.

的位置称为矩阵的主对角线。

注：若不是方阵没有主对角线.

（5）上三角矩阵（主对角线以下均为零）：

.

（6）下三角矩阵（主对角线以上均为零）：.

（7）对角矩阵：

.

（8）数量矩阵：.

（9）单位矩阵：阶单位矩阵简记为或,.

注：上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵都是方阵.

（10）同型矩阵

具有相同行数和相同列数的矩阵,称之为同型矩阵.

（11）矩阵相等

如果与是同型矩阵,并且它们对应元素相等,即

则称矩阵和矩阵相等,记作.

注：不是同型的矩阵是不能比较相等的；同型矩阵之间不能比较大小.

（12）负矩阵

对于矩阵,每个元素取相反数，得到的矩阵称为的负矩阵，记为,即

.

2.2矩阵的运算

2.2.1矩阵加法★▲

定义1设同型矩阵,,与的对应元素相加,称为矩阵与的加法或和,记为,

例１某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵和矩阵表示：

,求这两次物资从各产地运往各销地的调运总量.

根据矩阵加法和负矩阵的概念,可以定义矩阵的减法.

若,，则

容易验证，矩阵加法满足以下性质：

；

；

；

.

其中均为矩阵,为零矩阵.

2.2.2数与矩阵相乘★▲

定义2数与矩阵的乘积，称为数乘，记作,规定为

注：（1）.

（2）矩阵数乘，就是把矩阵的每个元素都乘以，而不是用乘矩阵的某一行（列）．

（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算.

不难验证，矩阵数乘满足以下性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

例2设,,且

，求矩阵.

学生思考

学生倾听

学生回答

特殊到一般的哲学思想

课堂小结

（10分）

问题1矩阵的概念是什么？

问题2矩阵的线性运算？

学生回答

透过现象看本质

课后作业

目标达成度的主要观测点

认识矩阵的概念与作用、会做矩阵的线性运算

教后小结