线性代数电子教案 3.5 线性方程组解的结构.docVIP

第四章向量组的线性相关性

第五次课程教案2课时

教学内容

齐次线性方程组、非齐次线性方程组解的结构

教学目标

了解线性方程组的解的性质；

2.掌握线性方程组的求解方法.

重点难点

线性方程组的求解；

线性方程组的解的结构.

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

当齐次线性方程组有无穷多解时，如何将这无穷多个解表示出来呢？

一个向量组的极大无关组可以表示向量组中所有向量，结合这个知识，思考上面问题。

2.已知向量是线性方程组

的解，请问是该方程组的解吗？你能从中得到什么结论？

学生思考

学生回答

正文讲授

（80分）

一、齐次线性方程组解的结构

为了研究齐次线性方程组解的结构，先讨论它的解的性质．

设齐次线性方程组为

（1）

为了叙述的方便，将方程组（1）记为，其解

记为，称为解向量.

性质1如果是齐次线性方程组的解,则也是的解.

性质2如果是齐次线性方程组的解，是任意常数，则也是的解.

性质3如果都是齐次线性方程组的解，是任意常数，则也是的解.

由以上性质得知，若齐次线性方程组有非零解，则它会有无穷多解，这些解组成一个维向量组．若能求出这个向量组的一个极大无关组，就能用它的线性组合来表示它的全部解．这个极大无关组在线性方程组的解的理论中，称为齐次线性方程组的基础解系．

定义1设是齐次线性方程组的解向量，且满足：

（1）线性无关

（2）齐次线性方程组的任意一个解向量都可由线性表示，

则称是齐次线性方程组一个的基础解系.

显然，当齐次线性方程组有非零解时，它就一定有基础解系.

定理1如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则

的基础解系中有个解向量.

故是齐次线性方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示成：（2）

其中是任意常数,上式称为齐次线性方程组的通解.

注：由于自由未知量可以任意取值，所以基础解系不唯一，但基础解系所含向量的个数都是个．可以证明：齐次线性方程组(1)的任意个线性无关的解向量均可以构成它的一个基础解系．

二、齐次线性方程组的求解

定理1的证明过程为我们提供了求齐次线性方程组的基础解系及通解的具体方法.

例1求齐次线性方程组的通解.

解：对增广矩阵施行如下初等行变换：

因为，故原方程组有无穷多解，且基础解系中仅含一个解向量．

原方程组的同解方程组为：其中为自由未知量．

令自由未知量，得到原方程组的一个基础解系：，故原方程组的通解为：，其中为任意常数．

例2求线性方程组的通解．

解：对增广矩阵施行如下初等行变换：

因为，故原方程组有无穷多解，且基础解系中含两个解向量．

原方程组的同解方程组为：其中为自由未知量．令自由未知量，可求出对应的，，从而得到原方程组的一个基础解系：，故原方程组的通解为：，其中为任意常数．

三、非齐次线性方程组解的结构

为了研究非齐次线性方程组解的结构，先讨论它的解的性质．

设非齐次线性方程组为

（3）

当它的常数项都等于零时，就得到齐次线性方程组（1），称它为非齐次线性方程组（3）的导出组．

非齐次线性方程组（3）的解与其导出组（1）的解之间有如下关系：

性质4若是非齐次线性方程组的解，则是其导出组的解.

性质5若是非齐次线性方程组的解，是导出组

的解，则是非齐次线性方程组的解.

定理2设是非齐次线性方程组的一个解（称为一个特解），是导出组的通解，则是非齐次线性方程组的通解．

由定理1知，若非齐次线性方程组有无穷多解，则只需求出它的一个解(特解)，并求出其导出组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可表示为：，其中是任意常数.

四、非齐次线性方程组的求解

根据上面提到的方法，下面对非齐次线性方程组的求解做举例说明.

例3求非齐次线性方程组

的通解.

解：对增广矩阵施行如下初等行变换：

因为，故原方程组有无穷多解，且导出组的基础解系中含两个解向量．

原方程组的同解方程组为：其中为自由未知量．

=1\*GB3①令自由未知量，得到原方程组的一个特解：.

=2\*GB3②导出组的同解方程组为：，其中为自由未知量．

令自由未知量，可求出对应的，，从而得到导出组的一个基础解系：

.

故原方程组的通解为：

，其中为

任意常数．

例4求非齐次线性方程组

的通解.

解：对增广矩阵施行如下初等行变换：

因为，故原方程组有无穷多解，且导出组的基础解系中含两个解向量．

原方程组的同解方程组为：其中为