线性代数电子教案 2.6初等矩阵.docVIP

第二章矩阵与线性方程组

第6次课程教案2课时

教学内容

矩阵的初等变换

教学目标

了解初等矩阵的定义；

重点掌握初等变换求逆矩阵的方法；

理解初等变求解矩阵方程的方法；

重点难点

初等变换与矩阵乘法的关系；

利用初等变换求逆矩阵

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

在计算行列式时，可以将某一行元素都乘以k，加到另一行上，或者将某一行的公倍数提到行列式外。那么矩阵的元素，也能做类似的变换吗？

2.行列式的某一行元素都乘以k加到另一行上，行列式的值不变。如果矩阵的某一行元素都乘以k加到另一行上，变换前后的矩阵相等吗?

3.基于问题1、2，思考能否将一个矩阵中的元素化成只有0或者1？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

3.5.3初等矩阵

定义6由单位矩阵经过一次初等行（列）变换所得到的矩阵,称为初等矩阵.

显然，初等矩阵都是方阵，根据三种初等变换可得到对调、倍乘、倍加三种类型的初等矩阵．

（1）交换单位矩阵的第行(列)与第行(列)的位置，得

（2）用非零常数乘单位矩阵的第行(列)，得

（3）将单位矩阵的第行的倍加到第行上，得

矩阵也可以是将的第列的倍加到第列所得的初等矩阵．

注：对以上三种初等矩阵，可以用具体的低阶初等矩阵进行说明！

初等矩阵具有以下性质：

性质1初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵.

,,.

性质2初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵.

；；.

性质3对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于对

左乘一个相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于对右乘一个相应的阶初等矩阵．

性质3说明：

（1）相当于对作初等行变换,

相当于对作初等列变换；

（2）相当于对作初等行变换,

相当于对作初等列变换；

（3）相当于对作初等行变换,

相当于对作初等列变换.

3.5.4初等变换求逆矩阵★▲

定理1：下面命题互相等价：

(1)阶方阵可逆；

(2)方阵行等价于阶单位矩阵；

(3)方阵可表为一些初等方阵的乘积.

设是阶可逆矩阵，由本节定理1知，可经过有限次初等行变换变成单位矩阵，根据初等矩阵的性质3，说明存在一系列初等矩阵，使得：，两边同时右乘,得：.

比较这两个式子：

初等行变换说明对，做相同的初等行变换，当经过这些初等行变换化成单位矩阵时，就变化成了的逆矩阵.这就是用初等行变换求逆矩阵的方法：

初等行变换

初等列变换用同样的方法可以得到用初等列变换求逆矩阵的方法：

初等列变换

3.5.5用初等变换求解矩阵方程★▲

矩阵方程的基本形式有下面三种：

（1），当可逆时，；

（2），当可逆时，；

（3），当可逆时，.

对于矩阵方程为的形式，若可逆，先求出，再计算，而计算两个矩阵乘积是很麻烦的．下面介绍一种较简便的方法，就是利用初等变换直接求出．

类似上面推导求逆矩阵的过程,若可逆，由本节定理1，存在初等矩阵，使得：，两边同时右乘,得：.

比较这两个式子：

初等行变换说明对，做相同的初等行变换，当经过这些初等行变换化成单位矩阵时，就变化成了矩阵方程的解.由此，我们得到了一个用初等行变换求解矩阵方程的方法：

初等行变换

初等列变换同理，利用初等列变换，也可求解矩阵方程．即当A可逆时，

初等列变换

此时，就是矩阵方程的解．

思政点：1.引导学生在计算逆矩阵过程中，发现其中蕴含着量变和质变、主要矛盾和次要矛盾等辩证思想。

2.可逆矩阵在密码学中的应用。信息的加密解密过程，激发学生的爱国情怀与必威体育官网网址意识。

主要例题：

例1设是一个三阶方阵，试求一个3阶可逆矩阵，使得

.

例2判断下列矩阵是否可逆？若可逆则求其逆矩阵：(1)；（2).

例3解下列矩阵方程：(1)；

(2)；(3).

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（10分）

问题1什么是初等矩阵？

问题2初等变换与矩阵乘法的关系

学生回答

课后作业

目标达成度的主要观测点

会用初等变换求矩阵的逆及解矩阵方程

教后小结