线性代数电子教案 2.4初等变换与线性方程组求解.docVIP

第二单元矩阵

第4次课程教案2课时

教学内容

矩阵的初等变换与线性方程组的求解

教学目标

掌握初等变换的概念；

掌握线性方程组的求解.

重点难点

矩阵的初等变换、线性方程组的求解

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

?课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

1.在计算行列式时，可以将某一行元素都乘以k，加到另一行上，或者将某一行的公倍数提到行列式外。那么矩阵的元素，也能做类似的变换吗？

2.行列式的某一行元素都乘以k加到另一行上，行列式的值不变。如果矩阵的某一行元素都乘以k加到另一行上，变换前后的矩阵相等吗?

3.基于问题1、2，思考能否将一个矩阵中的元素化成只有0或者1？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

2.4矩阵的初等变换与线性方程组的求解

一、矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是处理矩阵问题的一种基本方法,它在矩阵的秩、逆矩阵和线性方程组的求解中发挥着极其重要的作用.

定义1下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）交换矩阵中的第行（列）与第行（列）的元素，记作或；

（2）用一个非零常数乘矩阵的第行（列），记作或；

（3）矩阵的第行（列）元素的倍加到第行（列）对应元素上，记作或.（注意：第行（列）的元素并没有改变）.

矩阵的初等行或列变换统称为初等变换.

定义2如果矩阵经过有限次的初等变换变成，则称与等价。记做或.

容易得到，矩阵等价满足以下三个性质：

（1）反身性：；

（2）对称性：若，则；

（3）传递性：若，，则.

二、行最简形矩阵

在矩阵中，如果某行元素全为0，称其为矩阵的零行，否则称为非零行；在非零行中，从左至右数第一个不为零的元素称为首非零元.

定义3如果矩阵满足：

（1）若有零行,则零行位于矩阵的最下方；

（2）首非零元前面0的个数逐行严格增加.

则称矩阵为行阶梯形矩阵（简称为阶梯形）.

例如，

，，,

都是行阶梯形矩阵，而不是行阶梯形矩阵.

定义4设矩阵是行阶梯形矩阵，利用初等行变换，将化成非零行全为1，且它所在列的其它元素都是0，这样的矩阵称为行最简形矩阵或最简形.

例如,为行最简形矩阵.

行最简形矩阵是一个非常重要的概念.在线性代数A中，很多问题的求解方法都会涉及到将矩阵转化为行最简形矩阵这一步.

三、用矩阵的初等行变换解线性方程组：(1)写出元非齐次线性方程组的增广矩阵；

(2)对实施初等行变换，化为行最简形矩阵；

(3)写出以为增广矩阵的线性方程组；

(4)以第一个非零元为系数的未知量作为固定未知量，留在等号的左边，其余的未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未知量为任意常数，从而求得线性方程组的解.

四、相关结论：

定理：(1)任意一个矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；

(2)任意一个矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；

(3)任意一个矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）化为它标

准形，其中为行阶梯形矩阵中非零行的行数.

思政点：形变而质不变，变与不变相辅相成。认识事物，不仅要观其表象，更要明其内里。每个矩阵都能经过初等变换化为其行最简矩阵。人生的路虽然曲折，但明亮的目标始终在那里。

命题：(1)元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列；

(2)元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列，且第一个非零元的个数等于未知量的个数；

(3)元非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是第一个非零元不出现在的最后一列，且第一个非零元的个数小于未知量的个数.

思政点：《九章算术》成书于公元1世纪左右，记载了世界上最早的线性方程组完整解法。在西方，直到17世纪莱布尼兹提出完整的解法。以中国古代算术的辉煌成就，增强学生民族自豪感和文化自信心，同时也要反思近代中国数学落后的原因。青年一代有理想有担当，国家就有前途，民族就有希望！

三、主要例题：

例1求解线性方程组

例2判断下列矩阵是否是阶梯形矩阵：

(1)(2)

(3)(4)

例3试用矩阵行的初等变换将矩阵先化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵.

例4解方程组

例5解方程组

例6解线性方程组

例7解方程组

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（10分）

问题如何用初等变换求解线性方程组？

学生回答

课后作业

目标达成度的主要观测点

会化矩阵为行阶梯与行最简；会用初等变换求解线性方程组

教后小结