线性代数电子教案 3.4 向量空间.docVIP

第三章向量与线性方程组解的结构

第4次课程教案2课时

教学内容

向量空间

教学目标

1.了解集合加法、数乘封闭的概念；

2.了解向量空间的概念；

3.了解向量空间的基底和维数的定义；

4.了解向量空间中向量的坐标的定义.

重点难点

向量空间的基和维数；

向量空间中向量的坐标.

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动设计

导入

（10分）

1.问题导入：

现有向量组成的集合，从集合中取出向量进行加法运算，或者用常数与向量相乘，结果还会属于这个集合吗？

2．计算向量组的秩和极大无关组。

互相讨论

自由回答

正文讲授

（75分）

一、向量空间的概念

定义1设是一个非空集合，是一个数域．如果在集合中定义了两种运算：对于,有；对于,,有，则称集合对于加法及数乘两种运算封闭.

定义2设是一个数域，若非空集合对于加法及数乘两种运算封闭,且这些运算满足下面八条公理，则称集合是数域上的向量空间．

对于,，有：

（1）；

（2）；

（3）在V中存在这样的元素0，使得对于，均有，我们称0为V的零元素．

（4）对于，，使得，我们称为的负元素．

（5）；

（6）；

（7）；

（8）,

向量空间的元素也称为向量．通常我们用小写的希腊字母?，?，?，…代表向量空间中的向量．

例1全体矩阵的集合构成数域上的一个向量空间．

按照矩阵的加法和数乘运算，容易验证,集合对于加法及数乘两种运算封闭,且这些运算满足上面的八条公理.

例2全体维向量构成一个向量空间,记为.由此可知,向量空间指数轴,指平面,指几何空间.

定义3设集合是数域上向量空间的一个非空子集合，若集合对于的加法及数乘运算封闭,且满足八条公理，则称为向量空间的一个子空间．

例3在向量空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个子空间，它叫作零子空间．

例4在向量空间中，齐次线性方程组

的全部解向量组成的一个子空间．这个子空间叫作齐次线性方程组的解空间．

二、向量空间的基底与维数

在三维几何空间中，3维基本单位向量，，是线性无关的，而对于任一个向量，均有，被称为的坐标系或基底，而称为向量?在基底下的坐标.

一般地，我们有如下的定义:

定义4设向量空间中的个向量,满足

（1）线性无关；

（2）中任何一个向量都可以由线性表示，

则称向量组是向量空间的一个基底,称为向量空间的维数,记为.

若向量空间没有基,则的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.

请读者将向量空间的基底（维数）与向量组的极大无关组（秩）的定义进行比较.

例5设向量空间为全体维列向量构成的集合，在

中,维基本单位向量组是的一个基.

例6证明：中向量组也是的基底．

例7中任意个线性无关的向量都是的基.

三、向量空间中向量的坐标

定义5设是向量空间的一个基底,向量空间中任一向量可唯一线性表示为

则的系数构成的有序数组称为关于基底的坐标.

显然，向量空间中的同一个向量可以由不同的基底来线性表示，不过该向量在不同基底下的坐标是不同的．在例5、例6中，在下的坐标是；

在下的坐标是．

同一向量在不同基底下的坐标有内在的联系，这涉及到过渡矩阵的知识，在此不作叙述．

例8设

,验证是的一个基,并把用这个基表示.

四、基变换与坐标变换：

定义6设与是维向量空间的两个基，存在系数矩阵，使得

.

矩阵称为从基到基的过渡矩阵.

坐标变换公式：设与是的两个基，任一向量在基

与基下的坐标分别为和，令矩阵

，，矩阵是从基到基

的过渡矩阵，则称为从坐标到坐标

的坐标变换公式；称为从坐标到坐标的坐标变

换公式.

例9取定中两组基和，求从基到基的过渡矩阵.

例10已知向量在基下的坐标是，求在基下的坐标.

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（5分）

请将向量空间中的基底与向量组中的极大线性无关组的概念相比较，说说它们有什么共同点和不同的。

学生回答

课后作业

P10913.14.15

目标达成度的主要观测点

了解向量空间的概念；会求向量空间的基底和维数及向量的坐标。

教后小结