线性代数电子教案 1.3 行列式性质的应用、行列式按行展开定理.docVIP

第一章行列式

第3次课程教案2课时

教学内容

行列式性质的应用、行列式按行展开定理

教学目标

理解余子式和代数余子式的概念；

掌握行列式展开定理在计算行列式中的应用.

重点难点

利用行列式行列式性质及展开定理计算行列式

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

与时间分配

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

1.根据学习过的二阶行列式、三阶行列式定义，你能写出n阶行列式的表达式吗？

2.n阶行列式中元素有n行n列，这个行列式的值如何计算呢？能够用对角线法则吗？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

一．利用行列式性质计算行列式

行列式的性质和推论主要用于计算行列式.利用性质，可以使行列式中更多的元素变为0，或化为特殊的行列式（对角、上三角行列式），从而将行列式化简,方便计算.

例1求证：.

例2计算.

注：为避免麻烦的分数运算，首先利用互换行（列）使得变成1，这是常用技巧.

例3计算行列式.

注：当行列式的特点是各行（列）对应元素相加为同一个数时，将各行或列加到第1行或列，再提公因子，请牢记！

例4计算行列式

.

注：

（1）利用行列式性质，可以把任何一个行列式变为一个上三角行列式或下三角行列式.

（2）一般计算行列式的方法不唯一.

（3）与作用不同，：将第行加到第行上去；：将第行加到第行上去.

二．行列式的展开定理

一般情况下，低阶行列式比高阶行列式容易计算，因此我们希望用低阶行列式来表示高阶行列式，这就是行列式的展开定理.为此，先介绍余子式和代数余子式的概念．

定义1在阶行列式中，把元素所在的第行与第列划去后,余下的元素按原来的位置构成的阶行列式称为元素的余子式，记作.而称为的代数余子式.

例如,

例5已知三阶行列式，求元素与的代数余子式的和.

解：元素、的代数余子式分别为：

，

所以.

对三阶行列式作如下变形：

即行列式的值等于它的第一行各元素与其对应的代数余子式乘积之和.实际上，用同样的方法可得：

即三阶行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和.这一结论可以推广到阶行列式的情形.

定理1(展开定理)阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（行列式按第行展开）(1-2-10)

或（行列式按第列展开）(1-2-11)

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和等于0.即

(1-2-12)

或(1-2-13)

定理2及推论可归结为：

或(1-2-14)

定理1表明，阶行列式可以用阶行列式来表示，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．

例6计算行列式.

解：行列式第2列仅一个非零元，利用定理2，将按照第2列展开，可得

再对上式中的4阶行列式按照第4列展开，得

再对上式中的3阶行列式按照第3行展开，得

.

注：行列式可以按照任意一行（列）展开，当行列式的某一行（列）零元较多时，可按照此行（列）展开，行列式的计算就简单了.这可以说是计算行列式的一个基本方法：选择零元最多的行（列），按照这一行（列）展开计算.

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（10分）

如何利用行列式性质计算行列式？

行列式的按行展开定理如何应用？

学生回答

课后作业

目标达成度的主要观测点

会利用行列式性质及按行展开定理计算行列式

教后小结