线性代数电子教案 2.2矩阵的转置，方阵行列式，伴随矩阵.docVIP

第二单元矩阵

第2次课程教案2课时

教学内容

矩阵的运算：矩阵的乘法、转置，方阵行列式，伴随矩阵

教学目标

理解矩阵乘法、转置、幂等的概念和性质；

掌握方阵多项式的计算方法；

掌握伴随矩阵的定义.

重点难点

矩阵的运算性质；

伴随矩阵的定义.

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

?课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

1.两个数可以相乘，两个矩阵能相乘么？如何进行?

2.设矩阵，请问矩阵能与矩阵相乘吗？即问有意义吗？

3.设矩阵，请问有意义吗？

k个A相乘：有意义吗？

4.行列式中有转置行列式的概念，那么矩阵存在转置矩阵吗？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

2.2.3矩阵的乘法★▲

定义3设,,称为矩阵与的乘积，记

,其中

.

注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,否则AB没有意义．

（2）矩阵中元素等于左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素乘积之和.

（3）矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数．

例3设，求.

此例表明，有意义，但不一定有意义．

例4设A=，B=，求．

此例表明：

（1）即使都有意义且它们的行列数相同，与也不一定相等．

（2）两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．

例5设，，求.

此例表明,即使和都有意义，和的行数及列数也不一定相同．

例6设，，，求.

此例表明，由，一般不能推出．

以上几个例子说明,矩阵乘法的规律与中学学过的数的乘法规律不同,矩阵相乘与矩阵的顺序有关.

（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即一般情况下，；且,

等公式一般都不成立.

（2）由,一般不能推出或.

（3）矩阵乘法一般不满足消去律,即一般情况下，若且,不能得出.

定义4若矩阵与满足,则称与可交换.

只有当与可交换时,,等公式才成立.

根据矩阵乘法定义，还可以直接验证矩阵乘法满足下列性质（假定以下运算都能进行）:

（1）结合律：；

（2）分配律；；

（3）数乘结合律:；

（4）设是矩阵,则或简记为.

利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明．

例7某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵表示一年内各工厂生产各种产品的数量，矩阵表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元)，矩阵表示各工厂的总收入及总利润，且.

其中是第个工厂生产第种产品的数量，分别表示第种产品的单位价格及单位利润，分别是第个工厂生产三种产品的总收入及总利润．利用矩阵的乘法，可以定义阶方阵的幂.

定义5设是阶方阵,定义方阵的幂：

其中为正整数.

对任意方阵,我们规定.

方阵的幂具有以下性质：

（1）；（2）

其中是阶方阵,是正整数.

注：因为矩阵的乘法一般不满足交换律,所以一般情况下,对与,,只有当与可交换时,才有.一般地，若，也不一定有．

定义6设次多项式

，称

为阶方阵的次多项式.

例1设,,求.

2.2.4矩阵的转置★▲

定义7将矩阵的行换成同序数的列,所得矩阵称为的转置矩阵,记作或,即

，则.

矩阵的转置满足以下性质：

（1）；

（2）；

（3），为常数；

（4）.

显然，性质(2)和(4)可以推广到多个矩阵的情形．即：

（5）；

（6）.

例2设，，

求和.

注：一般情况下,.

定义4设阶方阵,若,则称为对称矩阵,即;

若,则称为反对称矩阵,即.

反对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴互为相反数并且主对角线元素全为0.

例如,是一个对称矩阵,

是一个反对称矩阵.

注：对角矩阵一定是对称矩阵。

2.2.5方阵的行列式★▲

定义5由阶方阵的所有元素按原来位置构成

的行列式，称为方阵的行列式,记为或,即

.

注：方阵行列式与方阵是不同的概念,前者是一个数,后者是一个数表.

设都是阶方阵，为常数，方阵行列式满足以下性质：

（1）；

（2）；

（3）.

把性质(3)推广到个阶方阵相乘的情形，有

.

特别地，

注：一般,但（、均为阶方阵）.

定义6设是阶方阵，当时，称A为非奇异的

(或非退化的)；当时，称A为奇异的(或退化的).

2.2.6伴随矩阵

定义7设是阶方阵，由行列式中的每个元素的代数余子式所构成的矩阵

（2-2-1）

称为矩阵的伴随矩阵.

注：伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式.

例如，的伴随矩阵是.

定理1设是阶方阵，是的伴随矩阵，则

（2-2-2）

补充例题：（选讲）

1.设，，求。

2.设列矩阵满足，为阶单位矩