线性代数电子教案 2.3分块矩阵.docVIP

第二单元矩阵

第3次课程教案2课时

教学内容

矩阵分块法矩阵的初等变换

教学目标

了解分块矩阵及其运算规律；

掌握分块矩阵的运算性质.

重点难点

矩阵的初等变换

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

?课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节

教学内容

互动设计

导入

（5分）

问题导入：

对于行数列数较大的矩阵，如何快速进行运算？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

2.3、分块矩阵

1.分块矩阵：对于行数和列数较高的矩阵，运算时常用一些横线和竖线将矩阵分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

2.分块矩阵的运算：

(1)分块矩阵加（减）运算：设、都是矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

，，

其中和的行数相同、列数相同，则有

.

(2)分块矩阵的数乘运算：矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块，都有

.

所以在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定.

(3)分块矩阵的乘法：设为矩阵，为矩阵，要求矩阵的列分块方式与矩阵的行分块方式保持一致，而对矩阵的行分块方式及矩阵的列分块方式没有任何要求和限制.不妨设

，，

其中的列数分别等于的行数，则

，

其中

.

(4)分块矩阵的转置：设，则

(5)分块对角阵设是阶方阵，若的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是

方阵，而其余子块都是零矩阵，即

，

其中都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵.

例1求矩阵与的和.

例2设，，求.

例3设为第个分量为而其余元素全为的列向量，则阶单位矩阵可以分块为.将矩阵按列分块为，其中为矩阵的第个列向量，则有

，

从而有

,

即为矩阵的第列.同理，是矩阵的第行.易知是的元素.

例4设是矩阵，如果对任意的矩阵都有，证明.

二、矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是处理矩阵问题的一种基本方法,它在矩阵的秩、逆矩阵和线性方程组的求解中发挥着极其重要的作用.

定义1下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）交换矩阵中的第行（列）与第行（列）的元素，记作或；

（2）用一个非零常数乘矩阵的第行（列），记作或；

（3）矩阵的第行（列）元素的倍加到第行（列）对应元素上，记作或.（注意：第行（列）的元素并没有改变）.

矩阵的初等行或列变换统称为初等变换.

定义2如果矩阵经过有限次的初等变换变成，则称与等价。记做或.

容易得到，矩阵等价满足以下三个性质：

（1）反身性：；

（2）对称性：若，则；

（3）传递性：若，，则.

三、行最简形矩阵

在矩阵中，如果某行元素全为0，称其为矩阵的零行，否则称为非零行；在非零行中，从左至右数第一个不为零的元素称为首非零元.

定义3如果矩阵满足：

（1）若有零行,则零行位于矩阵的最下方；

（2）首非零元前面0的个数逐行严格增加.

则称矩阵为行阶梯形矩阵（简称为阶梯形）.

例如，

，，,

都是行阶梯形矩阵，而不是行阶梯形矩阵.

定义4设矩阵是行阶梯形矩阵，利用初等行变换，将化成非零行全为1，且它所在列的其它元素都是0，这样的矩阵称为行最简形矩阵或最简形.

例如,为行最简形矩阵.

行最简形矩阵是一个非常重要的概念.在线性代数A中，很多问题的求解方法都会涉及到将矩阵转化为行最简形矩阵这一步.

学生思考

学生倾听

学生回答

课堂小结

（10分）

问题2分块矩阵的运算法则与运算性质？

学生回答

课后作业

目标达成度的主要观测点

会进行矩阵的相关运算，

教后小结