线性代数电子教案 1.2. n阶行列式、行列式的性质.docVIP

第一单元行列式

第2次课程教案2课时

教学内容

n阶行列式、特殊行列式、行列式的性质

教学目标

识记n阶行列式定义；

掌握上三角行列式、下三角行列式、对角行列式等特殊行列式的值；

理解并掌握行列式的性质.

重点难点

n阶行列式定义；

行列式的性质.

教学条件环境

多媒体教室；粉笔；ppt课件

教学方式

课堂讲授；￡混合式教学；□讲授；￡案例教学；￡分组教学；□实验演示；□作业讲评；□实践教学；□其他活动

教学过程设计

教学环节与时间分配

教学内容

互动设计

思政

映射点

导入

（5分）

问题导入：

1.根据学习过的二阶行列式、三阶行列式定义，你能写出n阶行列式的表达式吗？

2.n阶行列式中元素有n行n列，这个行列式的值如何计算呢？能够用对角线法则吗？

学生思考

学生回答

正文讲授

（75分）

一．阶行列式

我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手,引出阶行列式的定义．已知二阶与三阶行列式分别为

,

我们可以从中发现以下规律：

(1)二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；

(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．

通过以上分析，二、三阶行列式可按以下方式定义：

（其中为排列的逆序数）,

(其中为排列的逆序数).

推广到一般,我们可得到阶行列式的定义.

定义1将个数排成行列，并在左右两侧各加一竖线，得到算式

(1-2-8)

称为阶行列式，记为.其中，为自然数的一个排列，

,是对所有元排列求和.

当时，一阶行列为，注意不要将其与绝对值概念混淆.

注：学生一般对n阶行列式定义的右边不能很好的接受，讲课时用四阶行列式为例，写出右边。帮助学生理解。

为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题．

例1在5阶行列式中，这一项应取什么符号？

解：这一项各元素的行标是按自然排列，而列标的排列为23514．因，故该项取正号．

例2计算四阶行列式.

解：.

例3利用行列式定义计算.

二、几种特殊的行列式

（1）上三角行列式（主对角线以下的元素全为0）

.

（2）下三角行列式（主对角线以上的元素全为0）

.

（3）对角行列式

.

上(下)三角形行列式及对角行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．

除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：

（其中未写出的元素均为零）.

（4）对称行列式

如果行列式中元素满足，称行列式为对称行列式.

例如，为对称行列式.

（5）反对称行列式

如果行列式中元素满足，称行列式为反对称行列式.

例如，为反对称行列式.

三行列式的性质

定义2将行列式的行列互换后得到的新行列式称为行列式的转置行列式，记作，即若

，则．

注：行列式也是行列式的转置行列式，即行列式与行列式互为转置行列式．

性质１行列式与它的转置行列式的值相等．

注：此性质表明行列式中的行、列的地位是对称的，即对于行成立的性质，对于列也同样成立，反之亦然．

性质２交换行列式的两行(列)，行列式变号．

推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零．

性质３行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即

.

注：此性质也可表述为：用数乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数乘此行列式．

推论如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．

注：以上性质与推论，讲授时用具体的行列式的例子进行说明！方便学生理解。

试证明奇数阶反对称行列式

.

性质４如果行列式的某一行(列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

注：一般情况下，不成立.

性质5把行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即

注:性质5是最为重要的一条性质，它与性质2和性质3一起常用于计算行列式,将它们分别记为：

①互换两行(列)：；

②第行(列)乘以某常数：；

③将第行(列)的倍加到第行(列)上去：.

学生思考

学生倾听

学生回答

特殊到一般的哲学思想

课堂小结

（10分）

1.行列式的定义是什么？

2.有哪些特殊行列式，如何计算？

3.行列式的性质有哪些？

学生回答

透过现象看本质

课后作业

目标达成度的主要观测点

会用定义计算特殊行列式

教后小结