第七章 微专题六　立体几何中的翻折、探索性和最值、范围问题.pptxVIP

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;;考点1翻折问题;(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；

【解】证明：如图，连接BE，由题意得AD＝DE＝2，

∠ADE＝60°，∠BCE＝120°，则△ADE为等边三角形，

则DE2＋BE2＝BD2，AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥DE，BE⊥AE.

又AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BE⊥平面ADE.

又BE?平面ABCE，所以平面ADE⊥平面ABCE.

;;(1)求证：FG⊥平面ABD；

解：证明：如图，连接CE，交AD于点O，则O为CE，AD的中点，连接GO.在菱形ACDE中，CE⊥AD，因为AB⊥平面ACDE，CE?平面ACDE，所以CE⊥AB，

;解：在菱形ACDE中，因为AC＝AD，所以△ACD和△ADE都是正三角形．

取ED的中点H，连接AH，则AH⊥AC.

又AB⊥平面ACDE，所以AB⊥AC，AB⊥AH，即AB，AC，AH两两垂直．

以A为坐标原点，AB，AC，AH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

;考点2探索性问题;(1)求证：平面PBC⊥平面PAB.

;【解】存在．PE∶ED＝1∶2.因为BC⊥平面PAB，BC∥AD，所以AD⊥平面PAB.

又因为PA，AB?平面PAB，所以AD⊥PA，AD⊥AB，又PA⊥AB，

所以AB，AD，AP两两互相垂直，;;【对点训练2】（2024·福建泉州模拟）如图，棱柱ABC--A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，E，F分别为CB1和CA1的中点．

(1)求证：EF∥平面ABB1A1.

解：证明：由E，F分别为CB1和CA1的中点，得EF∥A1B1，而A1B1?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.

;解：棱柱ABC--A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，如图，取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，则OM∥AA1，OM⊥平面ABC，而OB，OC?平面ABC，则OM⊥OB，OM⊥OC.

;考点3最值、范围问题;(2)设二面角B--AE--C的大小为θ，求cosθ的取值范围．

;;【对点训练3】（2024·安徽合肥模拟）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝1，AA1＝AB＝2，M为棱DD1的中点．

;(2)过A1M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．

;;1．（15分）（2024·河南濮阳模拟）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD的中点，AE与BD相交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P?平面ABCE）.

(1)求证：平面POB⊥平面PBC.;解：证明：如图，在原图中连接BE.由于AB∥DE，AB＝DE，所以四边形ABED是平行四边形．

由于AB＝AD，所以四边形ABED是菱形，所???AE⊥BD.

由于AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABCE是平行四边形，

所以BC∥AE，所以BC⊥BD.

在翻折过程中，AE⊥OP，AE⊥OB保持不变，

即BC⊥OP，BC⊥OB保持不变．

由于OP∩OB＝O，OP，OB?平面POB，

所以BC⊥平面POB.

由于BC?平面PBC，所以平面POB⊥平面PBC.;以O为原点，分别以OE，OB，OP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

;(1)求证：PB⊥AC.

解：证明：如图，记AC∩BD＝O，连接OP，由四边形ABCD是正方形，得O是AC的中点，

由PA＝PC，得OP⊥AC，又BD⊥AC，OP，BD?平面PBD，OP∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD.

又PB?平面PBD，所以PB⊥AC.;(2)若PB＝PD，求二面角P--AC--M的大小．

;(3)在(2)的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得BN∥平面MAC？若存在，求出PC∶PN的值；若不存在，请说明理由．

;(1)求证：AC⊥平面PBM；;所以AM⊥BM，即AC⊥BD，

翻折后可得AC⊥BM，AC⊥PM.

又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PBM，

故AC⊥平面PBM.;(2)求三棱锥P--ACQ体积的最大值；

;(3)当三棱锥P--ACQ的体积最大时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

解：由(2)得当三棱锥P-ACQ的体积最大时，点P到平面ABC的距离为PM＝1，即PM⊥平面ABC，故PM⊥AC，PM⊥MB，

又AC⊥BM，

故MA，MB，MP两两垂直．

以M为原点，MA，MB，MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

;解：证明：设平面PAB∩平面PCD＝l.

由于AB∥DC，AB?平面PDC，CD?平面PDC，

因此AB∥平面PDC，而AB?平面APB，平面PAB∩平面PCD＝