高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章二次函数与一元二次方程、不等式教学设计.docx

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：2.3二次函数与一元二次方程、不等式

教材分析

本节课围绕一元二次不等式与二次函数的关系展开，通过实际问题引入一元二次不等式的概念，并借助二次函数的图象与性质，分析不等式的解集，教学过程从具体问题出发，引导学生通过观察图象与方程根的关系，归纳出一元二次不等式的求解思路，结合判别式与函数图象，总结不同情形下不等式的解集规律，形成系统解法，本节内容承接了之前学习的二次函数和一元二次方程知识，是函数与方程思想的进一步应用，有助于提升学生数形结合的能力，为后续学习高阶不等式、函数性质及优化问题打下基础。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了二次函数的基本概念、图象及其性质，并具备解一元二次方程的能力，同时对函数与方程之间的联系有初步认识，能够通过函数图象理解方程的根与函数值的符号关系，这就为研究一元二次不等式的解法奠定了知识基础；高中阶段的学生具备一定的抽象思维能力和数形结合意识，但对不等式与函数图象之间的对应关系理解仍需加强，尤其在结合实际问题建立数学模型时，逻辑推理能力和问题转化能力还有待提升；本节课要求学生通过二次函数图象理解一元二次不等式的解集，掌握利用判别式和函数零点求解不等式的方法，并能应用于实际问题中，从而提升数学建模、逻辑推理和数形结合的能力，进一步发展函数思想和应用意识。

教学目标

理解一元二次不等式的概念，能够从实际问题中抽象出不等式模型，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握二次函数与一元二次不等式的关系，能够通过函数图象分析不等式的解集，达到直观想象核心素养水平二的要求。

能够根据判别式Δ的不同情况，分类讨论一元二次不等式的解集，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

能够运用框图流程求解一元二次不等式，解决实际问题中的最优化问题，达到数学建模核心素养水平二的要求。

能够正确进行一元二次不等式的代数运算和变形，达到数学运算核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：理解一元二次不等式与二次函数的关系，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。

教学难点：理解判别式与二次函数图象与x轴交点的关系，灵活运用数形结合思想求解含参数的一元二次不等式。

课堂导入

同学们，假设我们要建一个长方形的养鸡场，有一面靠墙（墙足够长），现有可围50米长篱笆的材料，若要使养鸡场面积不小于300平方米，那么与墙垂直的边长应在什么范围呢？设与墙垂直的边长为(x)米，则与墙平行的边长为((50-2x))米，依题意可得不等式(x(50-2x)\geq300)，整理得(2x^{2}-50x+300\leq0)。这种只含一个未知数且未知数最高次数是2的不等式，就是我们今天要学习的一元二次不等式。接下来，我们就一起探究它的解法。

课堂练习

第1题

【题文】已知集合A={x∣1≤x≤3.}，B={x∣x2?ax+4≥0,a∈R.}，若A∪B=B

A．(?

B．[

C．(?

D．[4,+

【答案】C

第2题

【题文】设函数f(x)=(x?a?b)(lnx?2)，其中a0，b0，若f(x)≥0恒成立，则a2

A．e

B．e

C．e

D．2

【答案】A

第3题

【题文】设集合P1={.x∣x2+ax+10}，P2={x∣

A．对任意a，P1是P2的子集；对任意b，Q1

B．对任意a，P1是P2的子集；存在b，使得Q1

C．对任意a，P1不是P2的子集；对任意b，Q1

D．对任意a，P1不是P2的子集；存在b，使得Q1

【答案】B

二次函数与一元二次方程、不等式

探究新知

（一）知识精讲

在解决实际问题时，我们常常会遇到形如ax2+bx+c0或ax2+bx+c0的不等式，这类不等式称为一元二次不等式

以实际问题为例：园艺师打算用24米长的栅栏围成一个矩形区域，要求面积大于20平方米。设矩形的一条边为x米，则另一条边为12?x米（因为周长为24米），于是面积为x(12?x)。根据题意，有不等式：

x(12?x)20

整理得：

x

这个不等式的解集就是我们要求的答案。

为了求解这个不等式，我们引入二次函数与一元二次不等式之间的关系。考虑函数：

y=

我们先求出该函数与x轴的交点，即解方程：

x

解得两个实数根：x1=2，x2

根据函数图像（如图2.3-1），我们可以观察到：

当x2或x10时，函数值y0；

当2x10时，函数值y0。

因此，不等式x2?12x+200

{x∣2x10}

结合题设中x∈(0,12)，可知该解集满足条件，即当矩形的一条边长在(2,10)范围内时，面积大于20平方米。

进一步推广，对于一般形式的一元二次不等式：

a

我们可以通过以