高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章基本不等式教学设计.docx

2.2基本不等式

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：2.2基本不等式

教材分析

本节课围绕基本不等式展开，首先由完全平方公式引出a2+b

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了不等式的基本性质、完全平方公式、数形结合思想以及相似三角形的相关知识，具备了一定的代数变形和几何推理能力，对两个正数的平均数概念也有初步认识；但由于基本不等式的抽象性和推导过程的逻辑严密性，学生在理解其几何解释和代数证明的联系上仍存在一定难度，特别是在从具体实例抽象出一般数学规律的过程中，逻辑思维和归纳能力仍有待提升；本节课要求学生通过已有知识推导基本不等式，理解其成立条件和几何背景，有助于提升学生的逻辑推理能力、数形结合意识以及数学建模素养。

教学目标

理解基本不等式的代数推导过程，能够解释a2+b

掌握基本不等式的几何解释，能够通过几何图形理解算术平均数与几何平均数的关系，达到直观想象核心素养水平二的要求。

能够运用基本不等式解决简单的最值问题，理解当且仅当的条件意义，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平二的要求。

能够通过代数变形和几何直观两种方式验证基本不等式，体会数学不同表征方式之间的联系，达到数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：基本不等式的定义及其推导过程，掌握其代数证明与几何解释，理解算术平均数与几何平均数的关系。

教学难点：基本不等式的几何解释及在实际问题中的应用，特别是最值问题中的灵活运用。

课堂导入

同学们，我们来看这样一个生活场景。有两个正方形花坛，边长分别为(a)和(b)（(a\gt0)，(b\gt0)）。现在想把它们改造成一个大的矩形花坛，长为(a+b)，宽为(\frac{a+b}{2})。同时，有另一个正方形花坛，边长为(\sqrt{ab})。从面积角度思考，若将两个小正方形花坛面积之和与新矩形花坛面积比较，会发现什么关系呢？我们知道两个小正方形面积和为(a^{2}+b^{2})，而(a^{2}+b^{2}\geq2ab)（之前已学）。那么对于边长为(\sqrt{ab})和(\frac{a+b}{2})的图形又有怎样的数量关系呢？今天，我们就一起来探究这个有趣的数学问题——基本不等式ab≤a+b

课堂练习

第1题

【题文】已知x，y为正数，则2x2+3

A．4

B．3

C．3

D．2

【答案】D

第2题

【题文】a?，??b为正实数，且a+2b=2，当2a+1+1b取最小值时，(ax?b

A．?

B．27

C．?

D．?

【答案】A

第3题

【题文】已知(x1,y1)和

A．y

B．y

C．y

D．y

【答案】D

2.2基本不等式

探究新知

（一）知识精讲

在高中数学中，我们已经学习了不等式的基本性质，并通过完全平方公式得到了一个重要不等式：

对于任意实数a、b，都有

a

当且仅当a=b时，等号成立。

特别地，当a0、b0时，我们用a、b分别代替上式中的a、b，可以得到一个新的不等式：

ab

当且仅当a=b时，等号成立。

这个不等式被称为基本不等式，其中a+b2称为正数a、b的算术平均数，ab称为它们的几何平均数

基本不等式表明：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

我们也可以通过不等式的代数推导来验证这个结论：

要证

ab

只需证

2

即

2

进一步可化为

?(

而

(

显然成立，且当且仅当a=b时等号成立。

因此，我们可以从上述推导中得出基本不等式成立的代数依据。

此外，基本不等式还可以通过几何图形进行直观解释。

如图2.2-1所示：

设AB是圆的直径，点C是直径AB上的一点，满足AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。

通过几何知识可以证明：

CD=

而圆的半径为

a+b

由于CD是弦的一部分，其长度小于或等于半径，因此有

ab

当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立。

（二）师生互动

教师提问1：

“我们已经知道a2+b2≥2ab，那么如果a、b是正数，我们用a、b代替原来的

学生回答：

“可以得到(a)2+(b)2≥2

教师提问2：

“刚才我们通过代数方法证明了基本不等式，那么如果从几何图形出发，如何理解这个不等式？”

学生回答：

“在圆中，弦CD的长度是ab，而圆的半径是a+b2，所以CD不会超过半径，从而得出ab≤

教师提问3：

“什么时候等号成立？你能从代数和几何两个角度分别解释吗？”

学生回答：

“代数上，当a=b时，(a?b)2=0，所以等号成立；几何上，当点C与圆心重合时，a=b

（三）设计意图

本部分通过代数推导与几何解释相结合的方式，引导学生理解基本不等