高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章n次方根与分数指数幂教学设计.docx

4.1.1n次方根与分数指数幂

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：4.1.1n次方根与分数指数幂

教材分析

本节课从平方根、立方根的概念推广到n次方根，结合奇偶性讨论其存在性与符号特征，进一步引入根式的表示方法，并通过探究得出(na)n=a

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生在初中已经学习了平方根、立方根等基本概念，并掌握了简单的根式运算和指数运算，对数的开方和幂的运算有初步认识，具备了一定的代数思维能力。进入高中阶段，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐步提升，能够接受较为抽象的数学概念，如n次方根、分数指数幂及其运算规则。通过本节学习，学生将进一步理解根式与分数指数幂之间的联系，掌握有理数指数幂的运算性质，为后续学习指数函数与对数函数等内容奠定基础。

教学目标

理解n次方根的概念，能够区分奇次方根和偶次方根的性质差异，达到数学抽象核心素养水平一的要求。

掌握根式na的表示方法及其运算性质(na

理解分数指数幂的定义a=

掌握有理数指数幂的运算性质，能够运用这些性质进行指数运算，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平二的要求。

能够分析na

重点难点

教学重点：n次方根的定义与性质，分数指数幂的意义及运算性质，根式与分数指数幂的互化。

教学难点：n次方根的化简与na

课堂导入

同学们，在之前的学习中，我们已经熟知了平方根与立方根的概念，比如4的平方根是±2，因为(±2)2=4；8的立方根是2，由于23=8。那如果是16，什么数的4次方等于16呢？32的5次方根又是多少呢？其实，在数学里，对于这类问题，我们可以用一个更广泛的概念来概括——

n次方根

探究新知

（一）知识精讲

我们已经知道，平方根和立方根分别是满足x2=a和x3=a的

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根用符号na

3

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号?na表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±n

4

负数没有偶次方根，因为任何实数的偶次幂都是非负数。

0的任何次方根都是0，记作n0

式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a

根据n次方根的意义，可以得到：

(

例如：

(

进一步地，我们来探究nan的意义。它表示an的n次方根。那么

通过分析可以得到：

当n为奇数时：na

当n为偶数时：n

（二）师生互动

教师提问：

我们已经知道nan的结果与n的奇偶性有关。那么，如果a是负数，当n是偶数时，nan

学生思考并回答：

当a是负数，且n是偶数时，an是正数，因此它的n次方根有两个，分别是正负两个数。但根据根式的定义，nan表示的是正的n次方根，所以结果是∣a∣，而不是

教师追问：

那如果a是正数，无论n是奇数还是偶数，nan的结果是否都等于

学生回答：

是的。当a是正数时，无论n是奇数还是偶数，an仍然是正数，而nan表示的是正的n次方根，因此结果就是

教师总结：

这说明nan的结果依赖于n的奇偶性和a的正负，不能一概而论为

（三）设计意图

本部分通过从平方根、立方根推广到n次方根，帮助学生建立从特殊到一般的数学归纳能力。通过对nan

新知应用

例1题目：

求下列各式的值：

(1)3(?8)3；

(2)(?10)2；

(3)4

解答：

(1)3

我们先看被开方数：(?8)3=?512。

然后我们求它的3次方根，即3?512。

由于3是奇数，负数有奇次方根，且3?a=?3a，

(2)(?10

首先计算被开方数：(?10)2=100。

然后我们求它的平方根，即100。

因为平方根有两个值（正负），但根号默认表示正的平方根，

所以100=10。

因此，(?10)2=10。

(3)4

我们先看被开方数：(3?π)4。

然后我们求它的4次方根，即4(3?π)4。

由于4是偶数，所以4a4=∣a∣，

因此4(3?π)4=∣3?π∣。

又因为

(4)(a?b

我们先看被开方数：(a?b)2。

然后我们求它的平方根，即(a?b)2。

根据平方根的性质，x2=∣x∣，

当a≥b时，∣a?b∣=a?b；

当ab时，∣a?b∣=b?a。

因此，(a?b

总结：

1.题目考查内容

①n次方根的定义与性质；

②根式表达式的化简与计算；

③绝对值在根式中的应用；

④奇偶次方根的区别；

⑤数学符号（如na