高中数学人教A版（2019）必修第一册第一章充要条件教学设计.docx

1.4.2充要条件

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：1.4.2充要条件

教材分析

本节课通过分析若干“若p，则q”形式的命题及其逆命题的真假关系，引出充要条件的概念，明确了当命题与其逆命题均为真时，p与q互为充要条件，并通过多个数学实例说明充要条件在定义和判断中的应用。教学中可通过命题判断、逆命题构造、逻辑推理等活动引导学生归纳出充要条件的本质特征。本节内容承接了前面关于命题真假判断与充分、必要条件的学习，是对逻辑推理能力的进一步提升。充要条件的理解有助于学生准确把握数学概念的本质，提升逻辑表达与推理论证能力，为后续学习集合、函数、几何等知识中相关性质的判定与应用打下基础。

学情分析

针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了命题的概念、四种命题之间的关系以及充分条件、必要条件的基本含义，具备了一定的逻辑推理能力，能够理解“若p，则q”形式的命题及其逆命题的真假判断，但对命题之间逻辑关系的深入理解仍处于发展阶段，尤其对互为充要条件的双向推理尚需强化训练，本节课要求学生能够准确判断命题及其逆命题的真假，并理解充要条件的双向蕴含关系，帮助学生提升逻辑思维能力，掌握数学定义与充要条件之间的等价转化思想，为进一步学习数学概念的多种等价形式奠定基础。

教学目标

理解充要条件的定义，能够区分充分条件、必要条件和充要条件，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

能够判断给定命题及其逆命题的真假，并据此确定命题条件之间的充要关系，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

掌握利用充要条件重新定义数学概念的方法，如平行四边形、全等三角形等，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

能够运用充要条件的知识分析数学命题，理解不同数学定义之间的等价性，达到逻辑推理和数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：充要条件的概念及其符号表示，判断命题与其逆命题的真假，理解互为充要条件的意义。

教学难点：充要条件的理解与应用，判断两个条件是否互为充要条件。

课堂导入

同学们，我们先来看一个生活情境。比如，只有买了电影票，才能进入电影院看电影。这表明“买电影票”是“看电影”的必要条件。但如果说买了票就一定能看成电影吗？不一定，还得满足电影院正常营业等条件。那什么情况下“买电影票”和“看电影”之间的条件关系能更紧密呢？如果规定只要买了票就能看电影，且看电影就必须买票，此时“买电影票”就是“看电影”的充分必要条件，也就是我们今天要学习的充要条件。就像数学里，一些命题及其逆命题都为真时，条件和结论之间就存在这种充要关系，下面我们具体来探究。

课堂练习

第1题

【题文】已知函数f(x)的定义域为D，值域为E，则“(0,+∞)?E”是“对任意非负实数M，存在x0∈D，使得f(

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

第2题

【题文】使不等式(1?x)(2x+1)0

A．x∈(?1,+

B．x∈(?

C．x∈(?

D．x∈(?

【答案】D

第3题

【题文】已知数列{an}为等比数列，则“数列{an}为单调递增数列”的_____条件是“对任意n∈N

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分且必要

D．非充分非必要

【答案】C

充要条件

探究新知

（一）知识精讲

在学习命题的真假关系时，我们发现有些命题“若p，则q”与其逆命题“若q，则p”同时为真。例如：

命题（1）：“若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等”；

命题（4）：“若A∪B是空集，则A与B均是空集”。

这些命题与其逆命题都为真，说明它们之间存在一种双向的逻辑关系。我们用符号p?q表示这种关系，读作“p当且仅当q”。也就是说，p?q且q?p。

在这种情况下，p是q的充分必要条件，简称充要条件。同样地，q也是p的充要条件。因此，我们可以说p与q互为充要条件。

例如，在几何中，“四边形的两组对边分别相等”是“四边形是平行四边形”的充要条件。同样，“四边形的对角线互相平分”也是“四边形是平行四边形”的充要条件。这些不同的充要条件从不同角度刻画了平行四边形的本质特征。

平行四边形的定义是：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。这个定义本身也构成了一个充要条件。因此，我们可以用不同的充要条件来重新定义平行四边形，例如：

两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；

对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。

这些定义之间是相互等价的，体现了数学定义的多样性与统一性。

（二）师生互动

教师提问：

“同学们，我们刚才看到，命题（2）‘若两个三角形全等，则它们的周长相等’是一个真命题，但它的逆命题‘若两个三角形周长相等，则它们全等’是假命题。这说明了什么？”