高中数学人教A版（2019）必修第一册第一章充分条件与必要条件教学设计.docx

1.4.1充分条件与必要条件

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：1.4.1充分条件与必要条件

教材分析

本节课通过判断“若p，则q”形式命题的真假，引出充分条件与必要条件的概念，并结合平行四边形、三角形全等、方程求解及直线平行等实例，说明充分条件与必要条件的逻辑关系。教学中可通过设置问题情境，引导学生分析命题真假，逐步归纳出充分、必要条件的判断方法。本节内容与之前学习的命题、逻辑推理密切相关，也为后续学习函数、不等式等内容提供了逻辑工具。通过本节课的学习，学生能够提升逻辑推理能力，准确理解数学命题的结构与条件关系，为后续数学内容的理解与证明打下基础。

学情分析

学生在之前已经学习了命题的基本概念、真假命题的判断以及几何、代数中的基础定理，如平行四边形的性质与判定、三角形全等的条件、直线平行的判定等，具备一定的逻辑推理能力。进入高中阶段，学生的抽象思维逐步发展，能够接受较为严谨的数学语言和推理方式，但在理解充分条件与必要条件的逻辑关系时，仍可能对“由p能否推出q”的判断存在混淆，尤其在面对非唯一条件的情况下容易产生理解偏差。本节课要求学生通过具体命题的判断，理解充分条件与必要条件的含义，并能结合数学定理分析条件与结论之间的逻辑关系，从而提升逻辑推理能力和数学表达能力。

教学目标

理解充分条件与必要条件的概念，能够准确区分并解释两者的含义，达到逻辑推理核心素养水平一的要求。

能够判断若p，则q形式的命题真假，并能用符号p?q或p?q表示推理关系，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。

通过具体数学命题的分析，理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件的对应关系，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

能够运用充分条件和必要条件的概念分析数学问题，解释数学定理的实质，达到逻辑推理和数学建模核心素养水平一的要求。

重点难点

教学重点：充分条件与必要条件的概念及其逻辑关系，判断命题的真假及条件与结论的推出关系。

教学难点：充分条件与必要条件的逻辑辨析，命题真假与推出关系的相互转化。

课堂导入

同学们，我们先来看个有趣情境：假如你和朋友约好，“如果明天天晴，咱们就去公园玩”。那明天天晴了，你们会不会去公园？很可能会去，这就类似“若明天天晴（设为p），则去公园玩（设为q）”，p能推出q，p就是q的一种充分条件。那反过来，如果你们去公园玩了，是不是说明一定是天晴呢？不一定，也许是阴天也去了，所以由去公园玩不一定能推出天晴，也就是q不是p的充分条件，但如果没去公园，那天很可能不是天晴，所以天晴是去公园玩的必要条件。今天我们就来深入探究充分条件与必要条件，看看在数学中它们又有着怎样的含义和应用。

充分条件与必要条件

探究新知

（一）知识精讲

在数学中，我们常常会遇到形如“若p，则q”的命题。这类命题的真假性决定了p与q之间的逻辑关系。

如果“若p，则q”是一个真命题，也就是说，由条件p可以通过推理得出结论q，那么我们就说：

p是q的充分条件，

q是p的必要条件，

并记作：p?q。

反之，如果“若p，则q”是一个假命题，即由条件p不能推出结论q，那么我们就说：

p不是q的充分条件，

q不是p的必要条件，

并记作：p?q。

例如，考虑以下命题：

若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

若x2?4x+3=0，则

若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b。

分析可知，命题（1）和（4）是真命题，因此：

在命题（1）中，“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件；

在命题（4）中，“两条直线a和b均垂直于直线l”是“a∥b”的充分条件。

而命题（2）和（3）是假命题，因此：

“两个三角形的周长相等”不是“这两个三角形全等”的充分条件；

“x2?4x+3=0”不是“x=1

进一步地，我们注意到，一个结论q可能有多个不同的充分条件。例如，判断一个四边形是否为平行四边形，可以通过以下几种方式：

①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。

这些命题都是平行四边形的判定定理，因此它们都给出了“四边形是平行四边形”的充分条件。

同样地，一个条件p可能对应多个不同的结论q。例如，若“四边形是平行四边形”，我们可以推出：

①它的两组对边分别相等；

②它的一组对边平行且相等；

③它的两条对角线互相平分。

这些结论都是“四边形是平行四边形”的必要条件。

因此，数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个充