高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章无理数指数幂及其运算性质教学设计.docx

4.1.2无理数指数幂及其运算性质

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：4.1.2无理数指数幂及其运算性质

教材分析

本节课通过探究无理数指数幂的意义，借助有理数指数幂逐步逼近的方式，说明无理数指数幂是一个确定的实数，并归纳出实数指数幂的运算性质。教学过程从具体数值计算入手，引导学生观察趋势、归纳结论，建立无理数指数幂的概念。本节内容承接了有理数指数幂的学习，是指数幂概念从有理数向实数范围的自然延伸。理解无理数指数幂的存在性和运算规则，有助于学生构建完整的指数函数认知体系，为后续学习指数函数、对数函数及其性质奠定基础，同时提升学生的抽象思维能力和数学推理能力。

学情分析

学生在之前的学习中已经掌握了整数指数幂和有理数指数幂的概念及其运算性质，并通过函数学习初步具备了用数列或图像逼近思想理解数学概念的能力。进入高中阶段，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐步提升，能够接受通过极限思想理解无理数指数幂的意义，但对无理数与实数连续性的理解仍较为薄弱。本节课要求学生通过观察有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，理解ax（a0，x

教学目标

理解无理数指数幂的定义，能够通过有理数指数幂的逼近过程解释无理数指数幂的意义，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

掌握无理数指数幂的运算性质，能够正确运用三条运算规则进行实数指数幂的运算，达到数学运算核心素养水平二的要求。

能够通过2的近似值计算5x和5

理解实数指数幂的连续性，能够解释为什么无理数指数幂是一个确定的实数，达到数学抽象核心素养水平三的要求。

重点难点

教学重点：理解无理数指数幂的定义，掌握实数指数幂的运算性质及其应用。

教学难点：无理数指数幂的构造过程与极限思想的理解，实数指数幂运算性质的合理运用。

课堂导入

同学们，之前我们学习了有理数指数幂，知道ax(a0)中指数x为有理数时的相关知识。大家想想，在数学里，数的范围是不断拓展的，从整数到分数，从有理数到无理数。那指数x能不能是无理数呢？比如2

无理数指数幂及其运算性质

探究新知

（一）知识精讲

在前面的学习中，我们已经将指数幂ax（其中a0）中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了有理数。现在我们进一步思考：当指数x是无理数时，ax

我们知道，在初中阶段，无理数是通过有理数的逼近来认识的。例如，无理数2可以通过一系列有理数的不足近似值和过剩近似值来逼近。类似地，我们可以借助有理数指数幂来理解无理数指数幂。

以52为例，我们可以通过计算2的不足近似值x和过剩近似值y所对应的5x和5

通过计算可以发现，当x和y逐渐逼近2时，5x和5y的值也逐渐趋向于同一个实数。这个实数就是52。也就是说，52是由一串递增的有理数指数幂51.4,

由此我们可以得出结论：无理数指数幂ax（其中a0，x为无理数）是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂ax中指数x

进一步地，整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂。即对于任意实数r、s，有以下运算性质成立：

ar?as=a

(ar)s=a

(ab)r=arbr，其中

这些性质在实数范围内依然成立，使得实数指数幂在运算中具有良好的一致性与连续性。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经知道2是一个无理数，那么52

学生回答：通过2的不足近似值和过剩近似值，我们可以构造出两列有理数指数幂，一列递增，一列递减，它们都逐渐逼近同一个实数，这个实数就是52

教师提问2：既然无理数指数幂是通过有理数指数幂逼近得到的，那它是否也满足我们之前学过的指数幂的运算性质呢？

学生回答：是的，教材中指出，整数指数幂的运算性质在实数指数幂中依然适用，因此无理数指数幂也满足这些运算性质。

教师提问3：如果a0，r是一个无理数，那么ar是不是一定大于0

学生回答：是的，因为指数函数ax（其中a0）在实数范围内始终大于0，无论x

（三）设计意图

本部分通过引导学生从有理数逼近的角度理解无理数指数幂的意义，帮助学生建立实数指数幂的直观认识，强化数形结合的思想。通过观察5x和5y随着x、y逼近2

新知应用

例题题目：

根据2的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的5x、5y

解答：

我们以教材中给出的2≈1.4142为例，列出其不足近似值和过剩近似值，并计算对应的5x和5

2的近似值

不足近似值x

5x

过剩近似值y

5y

1.4

1.4

5

1.5

5

1.41

1.41

5

1.42

5

1.414

1.414

5

1.415

5

1.4142

1.4142

5

1.4143

5

通过观察可以发现：

随着x（不足近似值）逐渐逼近2，5x

随着y（过剩