第10讲 双曲线的方程与几何性质（学生版）-数学同步讲义（苏教版选择性必修一）.docxVIP

第三章圆锥曲线与方程

第10讲双曲线的方程与几何性质

知识精讲

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知识点01双曲线的定义与方程

1.双曲线的定义

一般地,平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线(如图所示).

(1)两个定点叫做双曲线的焦点;

(2)叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

定义

图形

标准方程

焦点

a,b,c的关系

【即学即练1】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（???????）

A．5 B．1 C．3 D．1或5

【即学即练2】已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练3】双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练4】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是

A． B． C． D．

【即学即练5】平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（???????）．

A． B．

C． D．

3.双曲线的渐近线

如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为曲线的渐近线。

双曲线的渐近线与双曲线永不相交

双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数

双曲线的渐近线方

程为,双曲线的

渐近线方程为.

【即学即练6】双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

【即学即练7】若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（???????）

A． B．9 C． D．3

【即学即练8】已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（???????）

A． B．

C． D．

4.双曲线的离心率

(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用表示,即.

(2)的几何意义:是表示双曲线张口大小的一个量,越大,张口越大.

(3)的范围:.

【即学即练9】若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（???????）．

A． B． C．2 D．

【即学即练10】已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练11】若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（???????）

A． B． C． D．

5.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为,其中离心率,渐近线方程为,它们互相垂直

【即学即练12】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（???????）

A． B． C． D．

【即学即练13】已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（???????）

A． B．

C． D．

6.共轭双曲线

若一个双曲线的实轴和虚轴分别是另一个双曲线的虚轴和实轴,则这两个双曲线是共轭的,其中一个双曲线是另一个双曲线的共轭双曲线,双曲线的共轭双曲线方程为,它们有共同的渐近线,其方程为,它们的离心率满足关系式.

【即学即练14】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的个数是（???????）

①与共轭的双曲线是；

②互为共轭的双曲线渐近线不相同；

③互为共轭的双曲线的离心率为，则；

④互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练15】若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（???????）

A． B． C． D．

【即学即练16】以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线：（，）与双曲线互为共轭双曲线，它们的离心率分别为、．以下说法错误的是

A．、的渐近线方程都是 B．的最小值是2

C． D．

【即学即练17】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为_______________________．

【即学即练18】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，则其共轭双曲线离心率为__________．

7.双曲线求标准方程常见结论

(1)与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为;

(2)若双曲线的渐近线方程是,则双曲线的方程可设为;

(3)与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为;

(4)过两个已知点的双曲线的方程可设为;

(5)与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可设为.

【即学即练19】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练20】若双曲线经过点，且它的