第03讲 两条直线的平行与垂直（学生版）-数学同步讲义（苏教版选择性必修一）.docxVIP

第一章直线与方程

第03讲两条直线的平行与垂直

知识精讲

知识精讲

知识点01直线的平行

1.通过斜率判断直线的平行

对于两条不重合的直线,其斜率分别为,当.

注意:

(1)成立的前提条件是:(1)两条直线的斜率都存在;(2)与不重合.

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,与的倾斜角都是,则.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:或斜率都不存在.

总结:

类型

斜率存在

斜率不存在

直线倾斜角

关系

两直线斜率都不存在

图例

2.通过直线一般式判断直线的平行

对于直线,直线..斜率存在时.当斜率不存在时,.

证明:对于直线,直线

(1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和.且.即且.

(2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则,所以两条直线斜率都不存在.所以,且.

综上:的等价条件为.斜率存在时.当斜率不存在时,.

【即学即练1】若直线与直线平行，则实数等于（????????）

A． B． C．或 D．

【即学即练2】过点且与直线平行的直线方程为（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练3】直线与直线的位置关系是（???????）

A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直

知识点02直线的垂直

1.通过斜率判断直线的垂直

如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于;反之,如果它们的斜率之积等于,那么它们互相垂直,即.

注意:

(1)成立的前提条件是:①②两条直线的斜率都存在;②且.

(2)两条直线中,一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零,则两条直线垂直.

(3)判定两条直线垂直的一般结论为:

或一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率等于零.

2.通过直线一般式判断直线的垂直

对于直线,直线..

证明:对于直线,直线

(1)当,,即两直线斜率存在时.得斜截式:和..即.

(2)当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以.

当,即直线的斜率不存在时.将代入,则且,直线斜率为0,所以.因此满足斜率不存在的情况.

综上:的等价条件为即.

【即学即练4】直线与直线垂直，则的值为（???????）

A． B．1 C． D．9

【即学即练5】6．过点且垂直于直线的直线方程为（???????）

A． B． C． D．

知识点03直线的直线系方程

具有某一种共同属性的一族直线称为直线系,其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数,常见的直线系方程有以下几类:

平行直线系方程:

直线中,当斜率一定而变动时,表示平行直线系方程,与直线平行的直线系方程是是参变量

垂直直线系方程:

与直线不同时为0)垂直的直线系方程是是参变量

过定点的直线系方程:

经过定点的直线系方程为)(除直线外),其中是待定系数;经过定点的直线系方程为,其中,是待定系数

【即学即练6】已知直线.

(1)求经过点且与直线平行的直线的方程;

(2)求经过点且与直线垂直的直线的方程.

【即学即练7】

已知点是直线外一点,则方程表示

A.过点且与垂直的直线

B.过点且与平行的直线

C.不过点且与垂直的直线

D.不过点且与平行的直线

知识点04直线的方向向量与法向量

如图,设是直线上不同的两点,直线上

的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量.

直线的一个方向向量的坐标是.

当直线时,直线的方向向量称为直线的法向量.对于

直线不同时为0),则

.从而得,即向量与向量平行,与向量垂直,因此,向量是直线的一个方向向量,向量是直线的一个法向量.

【即学即练8】直线的方向向量为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练9】直线的法向量可以是（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练10】过与的交点，且平行于向量的直线方程为（???????）

A． B．

C． D．

能力拓展

能力拓展

◆考点01判断直线的位置关系

【典例1】直线与直线的位置关系是（???????）

A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直

【典例2】直线：和直线：（）的位置关系是（???????）

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．重合

【典例3】直线和直线的位置关系是（???????）

A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定

◆考点02求与已知直线平行的直线方程

【典例4】若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（???????）

A． B．

C． D．

【典例5】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（???????）

A． B．

C． D．

◆考点03求与已知直线垂直的直线方程

【典例6】过点且与直线垂直的直线的方程是（???????）

A． B．

C． D．

【典例7】