第06讲 圆与方程（学生版）-数学同步讲义（苏教版选择性必修一）.docxVIP

第二章圆与方程

第01讲圆的方程

知识精讲

知识精讲

知识点01圆的标准方程

1.圆的标准方程

(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合

叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

(2)圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程:圆心为,半径为的圆的标准方程是.

圆心在坐标原点,半径为的圆的标准方程是.

【即学即练1】圆心为，半径为的圆的方程是___________.

【即学即练2】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．

【即学即练3】根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

知识点02圆的一般方程

1.圆的一般方程

叫作圆的一般方程.

由此可得圆心,半径.

注意:

(1)当时,方程表示圆.圆心为,半径为;

(2)当时,方程表示一个点;

(3)当时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹).

2.几种特殊位置的圆的方程

条件

标准方程

一般方程

圆心在原点

过原点

圆心在轴上

圆心在轴上

与轴相切

与轴相切

与,轴都相切

圆心在轴上且过原点

圆心在轴上且过原点

【即学即练4】圆的圆心坐标和半径长依次为（???????）

A．， B．，

C．， D．，

【即学即练5】已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练6】已知，，，则的外接圆的一般方程为（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练7】方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（???????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

知识点03点与圆的位置关系

点与圆的位置关系分三种:点在圆上,点在园内,点在圆外.

圆的标准方程为,圆心为,半径为;圆的一般方程为.平面内一点.

位置关系

判断方法

几何法

代数法(标准方程)

代数法(一般方程)

点在圆上

点在圆内

点在圆外

【即学即练8】已知圆的方程是，则点（???????）

A．在圆心 B．在圆上

C．在圆内 D．在圆外

【即学即练9】两个点、与圆的位置关系是（???????）

A．点在圆外，点在圆外

B．点在圆内，点在圆内

C．点在圆外，点在圆内

D．点在圆内，点在圆外

【即学即练10】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【即学即练11】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

知识点04求圆的轨迹方程

轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式,求轨迹方程即求与,有关的等式.

求轨迹方程常用的方法有:直接法;定义法;代人法.

直接法

它可分为五个步骤:(1)建系,(2)找出动点满足的条件,(3)用等式表示此条件,(4)化简,(5)验证.

【即学即练12】已知圆上的一定点，点为圆内一点，，为圆上的动点．

若，求线段中点的轨迹方程．

定义法

若动点的轨迹满足某种曲线的定义,则可根据定义直接写出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法.

【即学即练13】自引圆的割线ABC,求弦BC的中点的轨迹方程.

代入法

也称相关点法,它用于处理一个主动点与一个被动点的问题,只需找出这两点坐标之间的关系,然后代人主动点满足的轨迹方程即可.

【即学即练14】圆C过点，且圆心在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程．

知识点05阿波罗尼斯圆

在平面上给定相异两点A、B,设点在同一平面上且满足,当且时,点的轨迹是圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.

【即学即练15】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（???????）

A． B． C． D．

【即学即练16】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（???????）

A． B．2 C． D．4

【即学即练17】阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．

能力拓展

能力拓展

◆考点01一般方程与标准方程的转化

【典例1】已知圆方程的圆心为（???????）

A． B． C． D．

【典例2】圆的圆心和半径分别是（???????）

A．， B．， C．， D．，

【典例3】已知圆，则该圆的圆心