(25-27)两总体均值、频率、方差差异显著性检验.docxVIP

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§4.4两个总体均值与频率的差异显著性检验

一、两总体均值的差异显著性检验

总体X1和X2的均值分别为?1和?2，方差都是?2。

检验问题：

(I)双侧检验H0：?1=?2，H1：?1≠?2，

（检验?1是否等于?2）

(II)右侧检验H0：?1=?2，H1：?1?2，

（H0：?1≤?2）

（检验?1是否显著大于?2）

(III)左侧检验H0：?1=?2，H1：?1?2，

（H0：?1≥?2）

（检验?1是否显著小于?2）

（一）大样本方法（样本容量n1，n2≥50）

总体

样本

样本均值

样本方差

X1

X2

()与()独立。

由中心极限定理，，于是，

，

同理，，

而与独立，所以，

对三种类型的检验问题，当H0真时，有?1=?2，

，

于是， （*）

可见，H0真时，

对类型(I)，很大的可能性比较小；

对类型(II)，很大的可能性比较小；

对类型(III)，很小的可能性比较小。

（1）?2已知时，对给定的显著水平?有

P{}=?；P{}=?；P{}=?。

所以检验拒绝域：

(I) ：；(II)：；(III)：.

（2）?2未知时，记

，

则

=?2。

即是?2的无偏估计，用代替（*）中的?2，

有H0真时，

。

对给定的显著水平?有，检验拒绝域：

(I) ：；(II)：；(III)：

例1：（P112例4.11）在杉树两个不同部位采集球果，观测球果的长度（设两个部位球果长度方差相同），所得数据整理得：

部位

球果数

样本均值（cm）

样本标准差（cm）

东南部

n1=317

=7.64

s1=1.09

西北部

n2=269

=7.87

s2=1.09

试以显著性水平?=0.05检验

（1）两个部位球果长度有无显著差异；

（2）东南部球果长度是否明显低于西北部。

解：设东南部、西北部球果平均长度分别为m1和m2。

（1）H0：m1=m2，H1：m1≠m2，

大样本，方差s2未知，

=-2.54541，

u?=u0.05=1.96，|U|u?，拒绝H0，

认为两个部位球果长度差异显著。

（2）H0：m1=m2，H1：m1m2，

∵u2?=u0.10=1.645，U=-2.54541-u2?，

所以拒绝H0，认为东南部球果长度明显低于西北部。

（二）小样本方法

总体X1~N(?1,?2)，X2~N(?2,?2)，

检验问题：

(I)双侧检验H0：m1=m2，H1：m1≠m2，

(II)右侧检验H0：m1=m2，H1：m1m2，

（H0：?1≤?2）

(III)左侧检验H0：m1=m2，H1：m1m2，

（H0：?1≥?2）

总体

样本

样本均值

样本方差

()与()独立。

因为与独立，

所以，。

对三种类型的检验问题，当H0真时有m1=m2，

，

于是， （*）

（1）?2已知时，对给定的显著水平?有

P{}=?；P{}=?；P{}=?

检验拒绝域：

(I) ：；(II)：；(III)：.

（2）?2未知时，由于X1~N(?1,?2)，X2~N(?2,?2)，

利用Ch2定理4有，对三种类型的检验问题，当H0真时，

。

（教材P111（4.38）~（4.39）有误：

n1均应为n1-1，n2均应为n2-1）

于是，给定显著水平?有

P{|T|t?(n1+n2-2)}=?；

P{Tt2?(n1+n2-2)}=?；

P{T-t2?(n1+n2-2)}=?。

检验拒绝域为：

（I）|T|t?(n1+n2-2)；

（II）Tt2?(n1+n2-2)；

（III）T-t2?(n1+n2-2)。

例2：某次测验满分60分。随机抽取15名男生、12名女生，成绩如下：

男生：49，48，47，53，51，43，39，57，56，46，42，44，55，44，40；

女生：46，40，47，51，43，36，43，38，48，54，48，34。

假定男女生成绩都服从正态分布，且等方差。问男、女生成绩有无显著差异（取显著水平?=0.05）?

解：X1，X2分别表示男、女生成绩，

X1~N(m1,s2)，X2~N(m2,s2)，

检验问题：，

15，，，

12，，，

=≈1.565，

t?(n1+n2-2)=t0.05(25)=2.06，

因为|T|≯2.06，故接受H0，即认为男、女生成绩无显著差异。

Excel：数据分析→t-检验：双样本等方差假设

（?=0.05）

或函数fx→