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§1.2概率的统计定义
一.频率与概率
条件实现n次,事件A出现nA次,则称为事件A出现的频率。
例:掷硬币试验:
(1)甲投掷15次,正面5次,正面出现的频率为1/3,
乙投掷20次,正面12次,正面出现的频率为3/5。
(2)1000人,每人掷5次,
正面出现的频率可能有0,1/5,2/5,3/5,4/5,1;
(3)1000人,每人掷20次,
正面出现的频率可能有
0,1/20,2/20,…,18/20,19/20,1,
频率会比较集中在8/20~12/20。
历史上的掷硬币试验:
试验者
投掷次数
正面向上的次数
频率
蒲丰(Buffon)
4040
2048
0.5069
皮尔逊(K.Pearson)
12000
6019
0.5016
皮尔逊(K.Pearson)
24000
12012
0.5005
/*蒲丰(法国数学家),投针试验:用随机试验处理确定性问题*/
频率具有稳定性。
事件A的频率如果稳定在数值p上,
则称p为事件A的概率,记作P(A)。(或然率、几率)
二.概率的性质:
(1)0≤P(A)≤1;
(事件A出现的频率。)
(2)P(U)=1,P(?)=0;
(必然事件出现的频率;
不可能事件出现的频率。)
(3)事件A、B互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B);
(,所以)
(4)事件两两互不相容,
(任意i≠j,有),则
;
(,所以
。)
(5)若A?B,则P(A)≤P(B)。
(,所以。)
§1.3古典概型几何概型
1.古典概型(卡丹诺(G.Cardano,1501~1576)《机遇博弈》)
引例1:口袋中装有红、白、蓝三只球,
从中任取一只球
{?1}:“取到红球”
{?2}:“取到白球”基本事件
{?3}:“取到蓝球”
“没取到红球”:{?2}+{?3},
“没取到白球”:{?1}+{?3},
“没取到蓝球”:{?1}+{?2},
“取到一个球”:{?1}+{?2}+{?3}。
引例2:掷一个骰子
:“掷出的点数是”,()是基本事件。
“掷出奇数点”:{?1}+{?3}+{?5},
“点数为小于5的偶数”:{?2}+{?4}。
一个随机现象,如果
(1)其基本事件的个数有限,
(2)这些基本事件出现的可能性大小相同,
则称这个随机现象属于古典概型。
设基本事件是…,条件实现时,这n个事件必出现一个且仅出现一个。因此,
,
且这n个事件两两互不相容,所以,
1=
=。
n个事件出现的可能性大小相同,故
。
假设事件,
其中,…{1,2,…,},
则=
==A包含的基本事件数/等可能的基本事件总数。
例1.掷一枚硬币三次,求三次均为正面的概率。
解:
{?1}:正正正,{?2}:正正反,{?3}:正反正,{?4}:正反反,{?5}:反正正,{?6}:反正反,{?7}:反反正,{?8}:反反反,
是等可能的基本事件。
事件A:三次均为正面,即A={?1},P(A)=1/8。
3正,2正1反,1正2反,3反
P(A)=1/4?
例2:掷一个骰子,
事件A:“点数为奇数”,事件B:“点数为小于5的偶数”,
求P(A)和P(B)。
解::“点数为”,是等可能的基本事件,
A={?1}+{?3}+{?5},P(A)=3/6=1/2,
B={?2}+{?4},P(B)=2/6=1/3。
例3:袋中装有5个白球,3个红球,从中任取4个,求“取到2个白球2个红球”(事件A)的概率。
解:等可能的基本事件:
1234,1235,1236,1237,1238,1245,1246,1247,1248,1256,
1257,1258,1267,1268,1278,1345,1346,1347,1348,1356,
1357,1358,1367,1368,1378,1456,1457,1458,1467,1468,
1478,1567,1568,1578,1678,2345,2346,2347,2348,2356,
2357,2358,2367,2368,2378,2456,2457,2458,2467,2468,
2478,2567,2568,2578,2678,3456,3457,3458,3467,3468,
3478,3567,3568,3578,3678,4567,4568,4578,4678,5678。
等可能的基本事件数:,
/*Excel:COMBIN(8,4)=70*/
事件A包含的基本事件数:,
∴。
例4:袋中装有5个白球,3个红球。将这8个球无放回地一个一个取出,共取球8次。求各次取到红球的概率。
记Ak为“第k次取到红球”,所求
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