(04)条件概率、事件独立性.docxVIP

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§1.5条件概率事件的相互独立性

一．条件概率乘法公式

引例：掷一枚硬币三次，

{?1}:正正正，{?2}:正正反，{?3}:正反正，{?4}:正反反，{?5}:反正正，{?6}:反正反，{?7}:反反正，{?8}:反反反

是等可能的基本事件。

事件A：掷出的正面多于反面，即A={?1,?2,?3,?5}，

则P(A)=4/8=1/2。

问题：若已知第一次掷出正面（事件B），那么掷完三次后，最终掷出的正面多于反面（事件A）的概率是多少？

所求概率称为事件B出现的条件下事件A出现的条件概率，记做：P(A|B)。

事件B：第一次掷出正面，B={?1,?2,?3,?4}，

=。

一般的，一个古典概型随机现象中，等可能的基本事件有n个。假设事件A包含其中mA个基本事件、事件B包含mB（0）个基本事件、事件AB包含mAB个基本事件。若事件B已经出现，则可能出现的mB个基本事件中只有mAB个结果能使A出现。

P(A|B)；

从概率的几何定义看

；

从概率的统计定义看，

事件A、B（P(B)0），条件实现n次，B出现的nB次中A出现的次数为nAB，事件B出现的条件下事件A出现的频率稳定在。

定义：A、B是两个事件，P(B)0，称为事件B出现的条件下事件A出现的条件概率。记做P(A|B)，即

。

/*可以证明：

P(·|B)满足非负性、正规性、可数可加性等3条公理*/

由此，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；

同理，若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)。

上式称为概率的乘法公式。

例1：某种动物，“活20岁以上”（事件A），P(A)=0.8；

“活25岁以上”（事件B），P(B)=0.4，

问一个20岁的这种动物能活到25岁以上的概率是多少。

解：=，

其中，，，，

所以，=。

练习：市场供应的灯泡中，甲厂产品占70%，其合格率为90%，市场上一个灯泡是甲厂合格产品的概率是多少？

练习：，，，求。

乘法公式的推广：对事件A、B、C，若P(AB)0，则

P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)；

一般的，对事件，若，则

练习：已知10把钥匙中只有2把能开房门的锁，一一试开，求不超过三次打开门锁的概率。

选做题：求（1）恰好试开5次的概率；

（2）至少试开6次的概率。

教材P12思考题（2）：3个阄只有1个中奖，某人从中抽取1个但不准看结果。主持人从剩余的2个阄中去掉1个不中的阄。这时，此人可以选择是否与主持人交换彼此的阄。换与不换中奖概率相同吗？

继续思考（选做题）：n个阄只有m（1）个中奖，某人从中抽取1个但不准看结果。主持人从剩余的n-1个阄中去掉k个不中的阄。这时，此人可以仍然选择原来的阄，也可以选择重新从余下的n-1-k个阄中抽取一个。哪个选择中奖概率大？

二．全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式

例2：10箱同样规格的产品

甲厂：5箱，次品率1/10

乙厂：3箱，次品率1/15

丙厂：2箱，次品率1/20

任取一箱任取一件

（1）求取得正品的概率是多少；

（2）若已取到正品，求此产品为甲厂产品的概率。

解：（1）

P(正品)

=P(甲厂正品)+P(乙厂正品)+P(丙厂正品)

=P(甲厂)P(正品|甲厂)+P(乙厂)P(正品|乙厂)

+P(丙厂)P(正品|丙厂)

=。

若记“取到甲厂产品”为A1，“取到乙厂产品”为A2，

“取到丙厂产品”为A3，“取得正品”为B，

则已知：，，，

，，，

这里B?A1+A2+A3，且A1，A2，A3两两互不相容，

于是，B=B(A1+A2+A3)=BA1+BA2+BA3，

BA1，BA2，BA3两两互不相容，所以，

P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)

=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=。

一般的，事件两两互不相容，，

若，则

，

其中…两两互不相容。

于是

=++…+。

称上式为全概率公式（由原因推结果）。

（2）已取到正品，此产品为甲厂产品的概率：

=；

类似的，已取到正品，此产品为乙厂产品的概率：

=；

已取到正品，此产品为丙厂产品的概率：

=。

一般的，事件两两互不相容，，

，若且，则

，().

此公式称为贝叶斯（Bayes）公式（由结果推原因）。

/*贝叶斯学派与频率学派的争论*/

例3（教材P12例1.14）：某人群吸毒率为0.01，抽血化验时，P{阳性|吸毒}=0.98，P{阴性|吸毒}=0.02，

P{阳性|不吸毒}=0.05，P{阴性|不吸毒}=0.95，

若某人