(12)随机变量的数字特征.docxVIP

PAGE

PAGE17

§1.7随机变量的数字特征

随机变量的概率分布是对其概率性质的最完整的刻画；数字特征是刻画随机变量某方面性质的数值。

引例1：三种品牌手表日走时误差（单位：秒）,,

分别有分布列

，日平均误差0秒；

，日平均误差+0.4秒；

，日平均误差0秒。

引例2：若，则

（1）；

（2）；

（3）。

说明：

①?以很大的概率在?附近取值，?刻画?取值的大小。

②?2小，则区间短，?取值集中；

?2大，则区间长，?取值分散。

一．数学期望

1.离散型随机变量的数学期望

定义1.?有分布律，则称数值

为?的数学期望，记作E?。

设?取n个值，其中有n1个a1，n2个a2，…，nk个ak，

则平均值

，

?取值的平均值稳定在。

例1：①?有分布律，

；

②若?有分布律，

。

定义2.?有分布律，

若级数收敛，则称级数的和为?的数学期望，记作E?。否则称?的数学期望不存在。

数学期望不存在的例：

记，（i=1，2，…），

X有分布律：，（），则

收敛，

，

EX不存在。

（交错级数收敛

调和级数）

例2：，则。

证：，。

，。

复习：

例：某种家电寿命X（单位：年）有分布密度

，

采用先使用后付款方式，且规定

X≤1时，付1500元；1X≤2时，付2000元；

2X≤3时，付2500元；X3时，付3000元。

求此种家电一台收费Y的数学期望。

解：X的分布函数。

Y的分布律为，则

（1）p1=P{X≤1}，

或

≈0.0952；

Excel：EXPONDIST(1,0.1,TRUE)=0.095162582。

（2）

，

或

≈0.0861；

（Excel：0.086106665）

（3）

，

或

≈0.0779；

（Excel：0.077912532）

（4）≈0.7408，

（Excel：0.740818221）

≈2732.19。

（Excel：2732.193196）

2.连续型随机变量的数学期望

定义：?有分布密度f(x)，若收敛，则

称为?（或分布f(x)）的数学期望，记作E?。否则称?的数学期望不存在。

例1：?在[0,1]上均匀分布，?有分布密度

。

，∴E?存在，

且。

一般的，若，则。

比如：，则。

练习：地铁发车间隔a分钟，乘客随机到站，平均等车时间1.5分钟，则a=。

例2：（数学期望不存在的例）

若?有分布密度，则E?不存在。

证明：（收敛

?和都收敛）

本例中

=，

发散，E?不存在。

例3：，则。

证：?的分布密度，

可以验证收敛，E?存在。

令，则，

。

（用到；）

例：?服从指数分布，有分布密度，则。

复习：d(uv)=udv+vdu，

得分部积分公式

证：

==-+

=。

（“=”用到）

3．随机变量函数的数学期望

问题1：已知?的分布，求g(?)的数学期望；

问题2：已知(?,?)的分布，求h(?,?)的数学期望。

例如：?~U(0,1)，?=e?，求E?。

解：

?的分布函数……=，

求导得?的分布密度；

是否可以省略？

。

引例：~，

E?=1×0.2+2×0.4+3×0.3+5×0.1=2.4；

E(?2)=12×0.2+22×0.4+32×0.3+52×0.1=6.4；

E(?3)=13×0.2+23×0.4+33×0.3+53×0.1=24。

一般的，，

?=g(?)

定理：（1）g(x)是一元函数，

?有分布律。

若收敛，则Eg(?)存在，且

否则Eg(?)不存在。

②?有分布密度f(x)，若收敛，则Eg(?)存在且

否则Eg(?)不存在。

（2）h(x,y)是二元函数，

①有分布律，()，

若收敛，则E[h(?,?)]存在，且

；

否则E[h(?,?)]不存在。

*（考试不要求）

有分布密度，若收敛，则E[h(?,?)]存在，且

；

否则E[h(?,?)]不存在。

例1：有分布律，求。

解：，

所以，；

或E(?2)=(-1)2+02+22+32。

例2：?在[0,2?]均匀分布，求E(sin?)。

解：?有分布密度，

E(sin?)sin(x)

。

练习：?在[0,1]均匀分布，求。

选做题：x~N(0,1)，求E(?e2?)。

练习：(?,?)有联合分布

??

1

2

1

1/4

1/6

3

1/2

1/12

求E(??)。

*例3：(?,?)在区域A均匀分布，A由