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7.随机变量的函数及其分布
(1)一维随机变量的函数及其分布
引例:用天平称物体的质量,随机误差?,物体的质量a,称量结果:?=a+?。
一般问题:已知?的分布,求?=g(?)的分布。
离散型情形:
例1:?有分布列,
求(1)?2的分布列;
(2)?2-?+2的分布列。
解:(1)
即
(2),
即。
或
P
1/5
1/10
1/10
3/10
3/10
?
-1
0
1
2
5/2
?2
1
0
1
4
25/4
?2-?+2
4
2
2
4
23/4
的分布列为,
的分布列为。
(1)①=
,
②,
③,
④,
的分布列为。
一般的,
?=g(?)
连续型情形:
连续型随机变量?有分布密度f?(x),分布函数F?(x)。
若?=g(?)是连续型随机变量,?的分布密度f?(x)有如下求法:
方法1:求出?的分布函数F?(x),再求导得f?(x);
方法2:用?的分布函数表示F?(x),再利用F?(x)与f?(x)的导数关系,对F?(x)求导得f?(x);
例2:已知?~U[0,2],求?=4?-1的分布密度。
解法1:?有分布密度,
?的分布函数:
①当(x+1)/40,即x-1时,F?(x)=0;
②当0≤(x+1)/4≤2,即-1≤x≤7时,
;
③当(x+1)/42,即x7时,F?(x)=1。
。
求导得?的分布密度
。
可见,?~U[-1,7]。
解法2:?~U[0,2],有分布密度,
(?的分布函数。)
?的分布函数:
,
求导得:
。
可见,?~U[-1,7]。
一般的,若x~U[?,?],(??),?=a?+b,(a≠0),则
a0时,?~U[a?+b,a?+b];
a0时,?~U[a?+b,a?+b]。
练习:?~U[-a,a],(a0),且P{?1}=1/3。
(1)则常数a=;
(2)?=2?,则?服从的分布是。
例3:x~N(0,1),求?=x2的分布密度。
解法1:?的分布函数,
当x≤0时,F?(x)=0;
当x0时,
,
。
求导得?的分布密度
。
复习:
解法2:?~N(0,1)有分布密度,
?的分布函数,
①当时,;
②当时,
求导得?的分布密度
所以,。
/*方法3:公式法
定理:随机变量?有分布密度f?(x),函数g(x)在(-∞,+∞)可导且g’(x)0(或g’(x)0),则?=g(?)是连续型随机变量,概率密度为
其中,,,
h(y)是g(x)的反函数。
例4:X~N(0,1),则Y=?X+?~N(m,s2),(s0)。
证法1:X~N(0,1)有分布密度,
Y的分布函数
,
求导得Y的分布密度
,
即。
证法2:有分布密度,
Y的分布函数
,
求导得Y的分布密度
,
即。
证法3:有分布密度,
,,
且g(x)有反函数:,。
所以,Y的分布密度:
即。
可见,?;
而?,
所以,?。*/
一般的,还有
若X~N(m,s2),则Y=aX+b~N(am+b,(as)2)。
例如:
?~N(5,4),则?=-?+7~N(2,4)。
练习:X~U[-3,3],分布密度,
Y=2X,求Y的概率密度函数fY(y)。
(2)二维随机变量的函数及其分布
引例1.用天平称物体的质量,随机误差?,物体的质量a,称量结果:?=a+?。
称量3次,结果为?1,?2,?3,平均值。
引例2.以靶心为原点建立平面直角坐标系,二维随机变量(?,?)是弹着点的坐标。则弹着点与靶心的距离。
一般问题:已知(?,?)的分布,求g(?,?)的分布。
离散型:
例1:(?,?)的分布律为
??
-1
1
2
-1
0.25
0.1
0.3
2
0.15
0.15
0.05
求?+?,?-?的分布律。
解:(1)
(?,?)
(-1,-1)
(-1,1)
(-1,2)
(2,-1)
(2,1)
(2,2)
P
0.25
0.1
0.3
0.15
0.15
0.05
所以,
?+?
-2
0
1
1
3
4
P
0.25
0.1
0.3
0.15
0.15
0.05
即~;
(2)
(?,?)
(-1,-1)
(-1,1)
(-1,2)
(2,-1)
(2,1)
(2,2)
P
0.25
0.1
0.3
0.15
0.15
0.05
所以,
?-?
0
-2
-3
3
1
0
P
0.25
0.1
0.3
0.15
0.15
0.05
即~。
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