(11)随机变量的函数及其分布.docxVIP

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7.随机变量的函数及其分布

(1)一维随机变量的函数及其分布

引例:用天平称物体的质量,随机误差?,物体的质量a,称量结果:?=a+?。

一般问题:已知?的分布,求?=g(?)的分布。

离散型情形:

例1:?有分布列,

求(1)?2的分布列;

(2)?2-?+2的分布列。

解:(1)

(2),

即。

P

1/5

1/10

1/10

3/10

3/10

?

-1

0

1

2

5/2

?2

1

0

1

4

25/4

?2-?+2

4

2

2

4

23/4

的分布列为,

的分布列为。

(1)①=

②,

③,

④,

的分布列为。

一般的,

?=g(?)

连续型情形:

连续型随机变量?有分布密度f?(x),分布函数F?(x)。

若?=g(?)是连续型随机变量,?的分布密度f?(x)有如下求法:

方法1:求出?的分布函数F?(x),再求导得f?(x);

方法2:用?的分布函数表示F?(x),再利用F?(x)与f?(x)的导数关系,对F?(x)求导得f?(x);

例2:已知?~U[0,2],求?=4?-1的分布密度。

解法1:?有分布密度,

?的分布函数:

①当(x+1)/40,即x-1时,F?(x)=0;

②当0≤(x+1)/4≤2,即-1≤x≤7时,

③当(x+1)/42,即x7时,F?(x)=1。

求导得?的分布密度

可见,?~U[-1,7]。

解法2:?~U[0,2],有分布密度,

(?的分布函数。)

?的分布函数:

求导得:

可见,?~U[-1,7]。

一般的,若x~U[?,?],(??),?=a?+b,(a≠0),则

a0时,?~U[a?+b,a?+b];

a0时,?~U[a?+b,a?+b]。

练习:?~U[-a,a],(a0),且P{?1}=1/3。

(1)则常数a=;

(2)?=2?,则?服从的分布是。

例3:x~N(0,1),求?=x2的分布密度。

解法1:?的分布函数,

当x≤0时,F?(x)=0;

当x0时,

求导得?的分布密度

复习:

解法2:?~N(0,1)有分布密度,

?的分布函数,

①当时,;

②当时,

求导得?的分布密度

所以,。

/*方法3:公式法

定理:随机变量?有分布密度f?(x),函数g(x)在(-∞,+∞)可导且g’(x)0(或g’(x)0),则?=g(?)是连续型随机变量,概率密度为

其中,,,

h(y)是g(x)的反函数。

例4:X~N(0,1),则Y=?X+?~N(m,s2),(s0)。

证法1:X~N(0,1)有分布密度,

Y的分布函数

求导得Y的分布密度

即。

证法2:有分布密度,

Y的分布函数

求导得Y的分布密度

即。

证法3:有分布密度,

,,

且g(x)有反函数:,。

所以,Y的分布密度:

即。

可见,?;

而?,

所以,?。*/

一般的,还有

若X~N(m,s2),则Y=aX+b~N(am+b,(as)2)。

例如:

?~N(5,4),则?=-?+7~N(2,4)。

练习:X~U[-3,3],分布密度,

Y=2X,求Y的概率密度函数fY(y)。

(2)二维随机变量的函数及其分布

引例1.用天平称物体的质量,随机误差?,物体的质量a,称量结果:?=a+?。

称量3次,结果为?1,?2,?3,平均值。

引例2.以靶心为原点建立平面直角坐标系,二维随机变量(?,?)是弹着点的坐标。则弹着点与靶心的距离。

一般问题:已知(?,?)的分布,求g(?,?)的分布。

离散型:

例1:(?,?)的分布律为

??

-1

1

2

-1

0.25

0.1

0.3

2

0.15

0.15

0.05

求?+?,?-?的分布律。

解:(1)

(?,?)

(-1,-1)

(-1,1)

(-1,2)

(2,-1)

(2,1)

(2,2)

P

0.25

0.1

0.3

0.15

0.15

0.05

所以,

?+?

-2

0

1

1

3

4

P

0.25

0.1

0.3

0.15

0.15

0.05

即~;

(2)

(?,?)

(-1,-1)

(-1,1)

(-1,2)

(2,-1)

(2,1)

(2,2)

P

0.25

0.1

0.3

0.15

0.15

0.05

所以,

?-?

0

-2

-3

3

1

0

P

0.25

0.1

0.3

0.15

0.15

0.05

即~。

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