2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第7节　对数与对数函数.docxVIP

第7节对数与对数函数

课标要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数.

【知识梳理】

1.对数的概念

在表达式ab=N(a0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=,其中a称为对数的,N称为对数的.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质

①alogaN＝________；②logaab＝b(a0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝______________；

②logaeq\f(M,N)＝____________；

③logaMn＝________(n∈R).

(3)换底公式：logab＝__________(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：________________

值域：__________________

当x＝1时，y＝0，即过定点________________

当x1时，y0；

当0x1时，y0

当x1时，y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是______________

在(0，＋∞)上是______________

4.反函数

(1)指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数______(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称.它们的定义域和值域正好互换.

(2)一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么是的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.

[常用结论与微点提醒]

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)(a0，且a≠1；b0，且b≠1).

(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，且a≠1；b0；m，n∈R，且m≠0).

2.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).

3.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故

0＜c＜d＜1＜a＜b.

即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()

(2)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()

(3)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()

(4)函数y＝log2x与y＝logeq\f(1,2)eq\f(1,x)的图象重合.()

2.(北师大必修一P105例4(1)改编)计算：log4eq\f(25,9)＋log23－log0.5eq\f(1,5)＝________.

3.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)log0.7(m－1)，则m的取值范围是________.

4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为________.

考点一对数的运算

例1(1)(2025·丹东模拟)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝()

A.－2 B.eq\f(1,2)

C.eq\f(\r(2),2) D.1

(2)计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.