高中数学指数函数例题解析.docVIP

指数函数 例题解析 　【例1】对于函数y＝，（1）求函数的定义域，值域； 　　（2）确定函数的单调区间． 　　解析：函数y＝可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝“复合”而成． 　　（1）由u＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当xR时，u≥－2，此时函数y＝总有意义，∴定义域为R； 　　又由u≥－2，∴0＜≤9，∴原函数的值域为（0，9］． 　　（2）∵函数u＝x2－2x－1在［1，＋）上递增， 　　∴对于任意的1≤x1＜x2都有u1＜u2， 　　∴＞，即y1＞y2． 　　∴函数y＝在［1，＋］上递减． 　　同理可得函数y＝在（－，1）上递增． 　　点评：形如y＝（a＞0，a≠1）的函数有如下性质： 　　（1）定义域与函数定义域相同； 　　（2）先确定函数u＝f（x）的值域，然后以u的值域作为函数y＝（a＞0，a≠1）的定义域求得函数y＝（a＞0，a≠1）的值域； 　　（3）函数y＝（a＞0，a≠1）的单调性，可以由函数u＝f（x）与y＝（a＞0，a≠1）按照“同增异减”的原则来确定． 　　从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用． 　　【例2】求下列函数的定义域，值域： 　　（1）y＝；　　　　　　（2）y＝； 　　（3）y＝；　　　　（4）y＝＋2×－1． 　　解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法． 　　（1）要使函数有意义，则x－1≠0， 　　∴x≠1．∴函数定义域为{x|x≠1}； 　　∵x≠1，≠0， 　　∴≠1，∴函数值域为{y|y＞0，且y≠1}． 　　（2）∵2x－1≥0，∴函数定义域为{x|x≥}； 　　∵2x－1≥0，∴≥0，∴y＝≥1．∴函数值域为{y|y≥1}． 　　（3）函数定义域为R； 　　∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1， 　　∴y＝≥．∴函数值域为{y|y≥}． 　　（4）函数定义域为R； 　　令t＝，则t＞0，y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，其对称轴为t＝－1． 　　∵t＞0，函数y＝（t＋1）2－2单调递增， 　　∴y＝（t＋1）2－2＞1－2＝－1． 　　∴函数值域为{y|y＞－1}． 　　点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求内函数的值域B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t＞0（即得到内函数的值域B），然后由t＞0得到函数值域为{y|y＞－1}．若（4）中的x≥1，你还能求出它的值域吗？ 　　【例3】若函数y＝为奇函数， 　　（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性． 　　解析：先将函数化简为y＝． 　　（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，即 　　＋＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－． 　　（2）∵y＝－－，∴－1≠0． 　　∴函数y＝－－定义域为{x|x≠0}． 　　（3）法一：（逐步求解法）∵x≠0，∴－1＞－1． 　　∵－1≠0，∴0＞－1＞－1或－1＞0． 　　∴－－＞，－－＜－， 　　即函数的值域{y|y＞或y＜－}． 　　法二：（利用有界性）由y＝－－≠－，可得＝． 　　∵＞0，∴＞0．可得y＞或y＜－， 　　即函数的值域{y|y＞或y＜－}． 　　（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1－y2＝－＝－＝． 　　∵0＜x1＜x2，∴1＜＜． 　　∴－＜0，－1＜0，－1＜0． 　　∴y1－y2＜0，因此y＝－－在（0，＋）上递增． 　　同样可以得出y＝－－在（－，0）上递减． 　　点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x＞0时，∵为增函数，∴－1为增函数，递减，一为增函数，∴y＝－－在（0，＋）上递增．一般地，函数y＝f（u）和函数u＝g（x），设函数y＝f［g（x）］的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数y＝f（u）（称外函数）与u＝g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y＝f（x）递增（减），则y＝－f（x）递减（增）；②若函数y＝f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y＝递减（增）；③若函数y＝f（x）递增（减），则y＝f（x）＋k递增（减）． 　　【例4】已知