2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第7节　离散型随机变量及其分布列、数字特征.docxVIP

第7节离散型随机变量及其分布列、

数字特征

课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.

【知识梳理】

1.离散型随机变量

一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都对应有________________实数值,就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地,若离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn},如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=______都是已知的,则称X的概率分布是已知的,离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的__________或__________.

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

3.离散型随机变量的分布列的性质

(1)pk0,k=1,2,…,n;

(2)n∑k=1pk=p1+p2+…+pn

4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差

一般地,如果离散型随机变量X的分布列如表所示

X

x1

x2

…

xk

…

xn

P

p1

p2

…

pk

…

pn

(1)均值

称E(X)=_______________________=___________为离散型随机变量X的_______或__________(简称为期望).

(2)方差

D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=________________,能够刻画X相对于均值的___________(或波动大小),这称为离散型随机变量X的方差.

(3)标准差

称_________称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).

5.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=_____________.

(2)D(aX+b)=____________(a,b为常数).

[常用结论与微点提醒]

1.若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.

2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机

现象.()

(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()

2.(苏教选修二P146T7原题)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的.若P(X4)＝0.3，则下面结论中正确的是()

A.n＝3 B.n＝4

C.n＝10 D.n不能确定

3.(北师大选修一P197T3改编)(多选)同时抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果可以是()

A.第一枚6点，第二枚2点

B.第一枚5点，第二枚1点

C.第一枚3点，第二枚6点

D.第一枚6点，第二枚1点

4.(人教A选修三P71T3改编)随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b.若E(X)＝1，则a＝________，b＝________.

考点一分布列的性质

例1(1)若离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则a的值为()

ξ

－1

1

P

4a－1

3a2＋a

A.eq\f(1,3) B.－2

C.eq\f(1,3)或－2 D.eq\f(1,2)

(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1，2，3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.

思维建模离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

训练1(1)(2025·北京朝阳区调研)设随机变量ξ的概率分布列如表所示，则P(|ξ－2|＝1)＝()

ξ

1

2

3

4

P

eq\f(1,6)

eq\f(1,4)

a

eq\f(1,3)

A.eq\f(7,12)