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三．相关系数和协方差

1.相关系数

(?,?)是二维随机变量，D?0，D?0。?,?不一定有线性函数关系。

例如：?,?分别表示身高和体重，从某个年龄男孩中任意挑选10名，测量他们的身高（厘米）和体重（公斤）得数据：

身高

157

167

165

158

155

156

164

160

158

163

体重

46

55

52

46

42

45

49

47

44

49

（1）回归直线

?关于?的回归直线是满足条件

的直线：y=?+?x。

其中，

于是，

=(D?)b2-2E(?-E?)(?-E?)b+D?+(E?-a-bE?)2

已知(?,?)的分布，可以计算出

E?，E?，D?，D?，E(?-E?)(?-E?)。

所以，b=，

a=，

使得最小。

y=?+?x即为?关于?的回归直线。

而

=D(?)?2-2E(?-E?)(?-E?)?+D(?)

（*）

，分别为的标准差。

记，则由（*）有

=D(?)(1-?2)

（2）相关系数

定义：数值

称为?,?的相关系数。

由(1-?2)

有，，∴|?|≤1。

?对于?有正的线性相关关系(?0)时，?0；

?对于?有负的线性相关关系(?0)时，?0；

?对于?没有线性相关关系(?=0)时，?=0。

总之，

①?=0说明?,?没有线性相关关系；

②?0说明正（线性）相关，?0说明负（线性）相关；

③|?|的大小说明线性相关关系的程度。

|?|01

相关程度低高

/*特别，由(1-?2)，知

|?|=1

?

?

?

*/

?,?的相关系数的计算：

注意：（1）?=0说明?,?没有线性相关关系（?,?不相关），不是说?,?没有任何关系。

例如：?有分布律，?=?2，则???=0。

证：由于，

，

所以，

=E?3-E(?)E(?2)=0，

，，∴???=0，?,?不相关。

（2）D?0,D?0时，?,?独立??,?不相关；

反之，?,?独立??,?不相关。

证：若?,?独立，则E(xh)=(Ex)(Eh)，；

反之，???=0时，?,?未必独立。

例如：?有分布律，，

则，不相关。有分布律。

(?,?)的联合分布及边缘分布为

??

0

1

P?

-1

0

1/3

1/3

0

1/3

0

1/3

1

0

1/3

1/3

P?

1/3

2/3

1

，?,?不独立。

例1：，则。

证：，，有E?=E?=0，D?=D?=1。

?,?的相关系数

=E(??)

=?xdx

（这里“=”用到N(?x,1-?2)的期望是?x）

（用到，）

即。

，有分布密度

，

?=0时，?,?不相关，而且这时，

所以?,?独立。

一般的，，则

，，

，，，；

（的相关系数）

且x,h独立?rxh=0（不相关）。

练习：(X,Y)在区域G={(x,y)||x|≤1,|y|≤1}均匀分布。

，，求。

2．协方差

（1）定义：?,?是两个随机变量，若E(x-E?)(h-E?)

存在，则称它为?,?的协方差，记作cov(?,?)。

=

=；

。

练习：(?,?)有联合分布

??

1

2

1

1/4

1/6

3

1/2

1/12

求cov(?,?)。

注：①D?0,D?0时，。

/*令?*，?*，则D?*=D?*=1，

cov(?*,?*)=E(?*?*)-E(?*)E(?*)

=???。

相关系数是“标准尺度下的”协方差*/

②当D?0,D?0时，?,?不相关?E(xh)=(Ex)(Eh)。

（2）协方差的性质

①cov(?,?)=cov(?,?)。

②若C是常数，则cov(?,C)=0。

证：cov(?,C)=E(?C)-C·Ex=0。

③?,?独立，则cov(?,?)=0反之，cov(?,?)=0，?,?未必独立。

证：?,?独立，则cov(?,?)=E(??)-Ex·E?=0；

，但不独立的例：

，，?,?不独立。但

。

④a,b是常数，则cov(a?,b?)=abcov(?,?)。

证：cov(a?,b?)

=E(a?·b?)-E(a?)·E(b?)

=ab[E(??)-E?·E?]

=abcov(?,?)。

a0,b0，则

。

例如：?100?，1000?