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§1.6随机变量及其分布

一．一维随机变量

1．一维随机变量概念

引例1：掷一个骰子，?表示掷出的点数。

“掷出的点数为i”：{?=i}，(i=1,2,3,4,5,6)。

“点数不大于2”：{?≤2}

“点数不小于3.5”：{?≥3.5}

引例2：4次独立试验，?表示成功的次数，

“恰有3次成功”：{?=3}，

“至多2次成功”：{?≤2}，

“至少1次成功”：{?≥1}。

引例3：某公共汽车站每5分钟有一辆汽车到达，乘客在前一辆车开走?分钟后到站。

“乘客候车时间不超过3分钟”：{2≤?≤5}，

“乘客候车时间超过1分钟”：{0≤?4}。

一个随机现象中，?这样的量，当条件实现时，随机地取一个实数值，叫做随机变量（randomvariable）或一维随机变量。

例1：掷一个骰子，?表示掷出的点数，

P{x=i}=1/6，(i=1,2,3,4,5,6)。

（1）P{?≤2}=

（2）P{?≥3.5}=

（3）P{3.1?≤5.3}=

（4）P{?0}=

（5）P{?≤6.1}=

（6）实数x≥6，则P{?≤x}=P(U)=1.

例2：4次独立试验，每次成功的概率为0.6，?表示成功的次数。

（1）P{?=3}=

（2）P{?≤2}=

（3）P{?≥1}=

（4）实数x0，则P{?≤x}=P(?)=0；

（5）实数x≥4，则P{?≤x}=P(U)=1。

例3：候车问题，?：乘客到站的时刻，?∈[0,5]。

=

=

实数x0，则P{?≤x}=P(?)=0；

实数x≥5，则P{?≤x}=P(U)=1。

2．分布函数

定义：?是一个随机变量，称函数

F(x)=P{?≤x}，（x∈(-∞,+∞)）

为?的概率分布函数。

注：①0≤F(x)≤1；

（教材P49.第36题中的F(x)是分布函数吗？）

②F(x)单调增加。

常见的分布函数（多为分段函数）：

（1）取值在[0,1]的单调增加的阶梯函数；

（2）取值在[0,1]的单调增加的连续函数。

例4：掷一枚硬币，?表示正面出现的次数，即

，

有P{?=1}=1/2，P{?=0}=1/2。

P{?≤-1}=P(?)=0；

P{?≤-0.6}=P(?)=0；

P{?≤0}=P{?=0}=1/2；

P{?≤0.2}=P{?=0}=1/2；

P{?≤0.7}=P{?=0}=1/2；

P{?≤1}=P{?=0}+P{?=1}=1/2+1/2=1；

P{?≤1.2}=P{?=0}+P{?=1}=1/2+1/2=1；

P{?≤2}=P{?=0}+P{?=1}=1/2+1/2=1.

?的分布函数为F(x)=P{?≤x}，

①x0时，P{?≤x}=P(?)=0；

②0≤x1时，P{?≤x}=P{?=0}=1/2；

③1≤x时，P{?≤x}=P{?=0}+P{?=1}=1/2+1/2=1，

所以，F(x)=P{?≤x}

（教材P14图1.20）

练习：掷一个骰子，?表示掷出的点数，求?的分布函数。

例5：候车问题，?：乘客到站的时刻，?∈[0,5]，求?的分布函数。

解：

?的分布函数为

F(x)=P{?≤x}

即

例6：随机变量?的分布函数为，

则P{?≤0}=

P{?≤2.5}=

P{?≤0.8}=

P{?0.4}=

若?的分布函数为F(x)，则

，.

对任何实数，

，且，

所以，。

①P{x≤a}=F(a)；

=2\*GB3②；

=3\*GB3③P{xa}=1-P{x≤a}=1-F(a)；

=4\*GB3④P{x≥a}=1-P{xa}=1-F(a?)；

=5\*GB3⑤P{-∞x+∞}=1；

=6\*GB3⑥P{ax≤b}=P{x≤b}-P{x≤a}=F(b)-F(a)；

=7\*GB3⑦P{a≤xb}=P{xb}-P{xa}=F(b?)-F(a?)；

=8\*GB3⑧P{axb}；

=9\*GB3⑨P{a≤x≤b}；

=10\*GB3⑩P{x=a}。

例如：P{?-3}=1-P{?≤-3}=1-F(-3)；

P{1≤?≤2}=F(2)-F(1-)；

P{?=0}=F(0)-F(0-)。

分布函数的性质：

（1）F(x)是x的不降函数，即对任何实数x1≤x2，有

F(x1)≤F(x2)。

证：x1=x2时，F(x1)=F(x2)；

x1x2时，

=P{x1