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第五章方差分析（R.A.Fisher）

主要内容：

单因素方差分析

多重比较(LSD)

双因素方差分析

§5.2单因素方差分析

引例：灯泡厂用四种不同材料的灯丝A1,A2,A3,A4制成四批灯泡。现在从四批灯泡中分别随机抽取几只进行使用寿命试验。结果如下：

材料

灯泡寿命（小时）

平均寿命

A1

1600，1610，1650，1680，1700，

1720，1800

1680

A2

1580，1640，1640，1700，1750

1662

A3

1460，1550，1600，1620，1640，

1660，1740，1820

1636.25

A4

1510，1520，1530，1570，1600，1680

1568.33

平均寿命有差别的原因：随机因素、材料的不同。

?1,??2,??3,??4分别表示四种灯泡寿命。?i=E?i，i=1,2,3,4。

需检验统计假设：H0：?1=?2=?3=?4，

H1：?1,?2,?3,?4不全相等。

灯丝材料：因素，

四种灯丝材料：因素的四个不同水平。

一．问题的一般化：

?1,??2,…??a独立，?i~N(?i,?2)，（i=1,2,…,a），

其中?1,?2,?…,?a,?2未知。

/*方差齐性检验：

参看《概率论与数理统计教程》

（茆诗松、程依明、濮晓龙）P387§8.3*/

H0：?1=?2=…=?a，H1：?1,?2,…,?a不全相等。

总体

样本

样本均值

样本方差

……

m1+m2+…+ma=n。

/*如果做两两比较的检验

，

，

则需要进行个T检验。

若每个T检验的显著水平为?，则c个T检验至少一次犯第一类错误的概率是1-(1-?)c。

例如：a=5，，取?=0.05，则

1-(1-?)c=1-0.9510≈0.401.

教材P135

c

（比较的次数）

?

至

少

一

次

第

一

类

错

误

0.10

0.05

0.01

1

0.10

0.05

0.01

2

0.19

0.0975

0.02

3

0.271

0.143

0.03

4

0.344

0.1865

0.039

5

0.410

0.226

0.049

…

…

…

10

0.651

0.401

0.096

*/

总体

样本

样本均值

样本方差

……

m1+m2+…+ma=n。

H0真时，H0不真，

（随机性）（随机性+各总体均值不全相等）

二．平方和的分解（分析方差）

总体

样本

?1

?2

……

?a

记，m1+m2+…+ma=n。

总的离差平方和：，

联合样本取值分散的原因：

（1）不全相同；

（2）是随机变量，其样本观察值也会大小不一。

SS的分解：

记，，

则

+

（）

其中，.

记SS1=，SS2=

则SS=SS1+SS2

分析：

SS2=

++…+

第一项反映的样本分散程度，随机性造成；

第二项反映的样本分散程度，随机性造成；

……

SS2是随机性造成的，称为组内离差平方和

（误差平方和）。

SS1称为组间离差平方和（因素的效应平方和）。

SS=SS1+SS2

也记做SS总=SS间+SS内

三．假设检验问题的拒绝域

拒绝域的形式：SS1/SS2c。

H0真时，，

?1,??2,???a独立、同分布，?i~N(?0,?2)，（i=1,2,…,a），

于是，独立同分布，

，。

.（Ch2定理1）

又由，独立，知

，()，

且这a个?2变量独立。所以，

，

即。

可以证明，当H0真时，，

即，且与独立。

这样，当H0真时，记f1=a-1，f2=n-a，则

。

给定显著水平?，查表12(P262)得P{FF?(f1,f2)}=?。

检验的拒绝域：FF?(f1,f2)。

检验方法：若FF?(f1,f2)，则拒绝H0；

若F?F?(f1,f2)，则接受H0。

四．方差分析表

1．平方和SS1、SS2的计算

方法一：，其中n=m1+m2+…+ma。

s2是联合样本的样本方差；

，

其中是第个水平样本的样本方差，于是，

SS1=SS-SS2

此法适合数据量较小的情形。

方法二：

/*复习：=

*/

总体

样本

样本均值

样本方差

=T1/m1

=T2/m2

……

=Ta/ma

，记T，

则（*）

记（），则

SS2，

即SS2（**）

SS1=SS-SS2

输入数据，给出下表：

水平

1

m1

T1

2

m2

T2

a

ma

Ta

求和