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§5.4双因素方差分析

例：因素A：小麦品种；因素B：管理措施

a个小麦品种A1,A2,…,Aa，称为因素A的a个水平；

b项管理措施B1,B2,…,Bb，称为因素B的b个水平。

选择a×b块大小、条件相同的地块，分别编号(i,j)，。

在编号(i,j)的小块种品种Ai、采用管理措施Bj，

所得产量为

，。

因素

B1B2…Bb

A1

A2

Aa

y11y12…y1b

y21y22…y2b

…

ya1ya2…yab

设yij~N(?ij,?2)，独立。

因素

B1B2…Bb

平均值

A1

A2

Aa

?11?12…?1b

?21?22…?2b

…

?a1?a2…?ab

平均值

…

记

，

，记，?i称为Ai的效应

。

若?i不全相同，只反映因素A的不同水平

A1,A2,…,Aa在产量上有差异。注意到

=0，

判断?1,?2,?,?a是否相同，只需看是否有

。

同理，，记，

称为Bj的效应，有。判断是否相同，只需看是否有

。

?ij-?反映品种Ai、采用管理措施Bj对于产量的

（相对）影响。

（*），

称为Ai、Bj的交互效应，有。

由（*）得

，

检验问题：

（1）HA0：?1=?2=?=?a=0，

HA1：?1,?2,?,?a中至少有一个不为零；

（2）HB0：?1=?2=?=?b=0，

HB1：?1,?2,?,?b中至少有一个不为零；

（3）H0：?ij=0，(i=1,2,…,a；j=1,2,…,b)，

H1：?ij(i=1,2,…,a；j=1,2,…,b)中至少有一个不为零。

/*注：对于检验问题（3）每种水平Ai、Bj的搭配

都需做重复试验。*/

仅考虑交互效应：

的情形

检验问题只有（1）和（2）

数据：

因素

B1B2…Bb

求和

平均值

A1

A2

Aa

y11y12…y1b

y21y22…y2b

…

ya1ya2…yab

求和

…

总和T

平均值

…

总平均

其中，

， ，

，，

，，n=a×b。

平方和分解：

总的离差平方和：

=++

=SSe+SSA+SSB

/*交叉项为0的原因：

，

于是

=0；

同理

，

于是

=0；

而，

所以，=0。*/

平方和分解：SS=SSA+SSB+SSe

其中SSA称为因素A的离差平方和；

SSB称为因素B的离差平方和；

SSe称为剩余离差平方和（误差平方和）

自由度分解：

SS，

是n=a×b项的平方和，受到一个约束

，

SS的自由度是ab-1=n-1；

SSA，是a项的平方和，受到一个约束

=0，

SSA的自由度是a-1；

SSB，是b项的平方和，受到一个约束

=0，

SSB的自由度是b-1；

SSe=SS-SSA-SSB的自由度是

(ab-1)-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)。

对于检验问题（1）：，

拒绝域形式：。可以证明：

HA0真时，有

与独立。

记fA=a-1，fe=(a-1)(b-1)，有

，

给定显著水平?，拒绝域：；

对于检验问题（2）：，

拒绝域形式：。可以证明：

HB0真时，有

与独立。

记fB=b-1，fe=(a-1)(b-1)，有

，

给定显著水平?，拒绝域：。

方差分析表（P147）：

方差来源

平方和

自由度

均方和

F比

因素A

SSA

fA=a-1

MSA=SSA/fA

因素B

SSB

fB=b-1

MSB=SSB/fB

剩余

SSe

fe=(a-1)(b-1)

MSe=SSe/fe

总计

SS

f=n-1=ab-1

显著性**或*或-：

**表示在水平0.01显著，*表示在水平0.05显著，

-表示在水平0.05不显著。

平方和的计算：

解法1：

SS=-T2/n；

SSA；

SSB；

SSe=SS-SSA-SSB

解法2：

SS=-T2/n，

（这里n=a×b，教材记）；

注意到，有

SSA

=-T2/n；

类似的，SSB=-T2/n；

SSe=SS-SSA-SSB

例：（P148例5.5）在4块苗床上采用3种不同肥料，

苗高正态分布、等方差。苗床与肥料两个因素间没有

交互作用。不同肥料A