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4．连续型随机变量

定义：?是一维随机变量，分布函数是F(x)，如果有一个非负函数f(x)，对任何实数x都有

则称?为连续型随机变量，称f(x)为?的(概率)分布密度。

F(x)是连续函数。

例1：候车问题，?：乘客到站的时刻，?∈[0,5]，?的分布函数

F(x)=P{?≤x}

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即

。

取，

则f(x)是?的分布密度。

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证：f(x)≥0，以下证明

①当x0时，

②当0≤x5时，

③当x≥5时，

可见，?是连续型随机变量，分布密度是f(x)。

若?的分布函数是F(x)，分布密度是f(x)，则对任何实数ab有

P{ax≤b}=P{x≤b}-P{x≤a}

=F(b)-F(a)=；

。

分布密度的基本性质：

，②。

练习1：（1）；

（2），

判断f(x)、g(x)是否为连续型随机变量的分布密度。

练习2：?的分布密度是

，

求常数A。

例2：连续型随机变量?的分布密度是

，

求（1）常数k，（2）?的分布函数F(x)，（3）P{1x≤7/2}。

解：（1）

由得，

，k=1/6；

（2）

=1\*GB3①当x0时，F(x)=0；

=2\*GB3②当0≤x3时，

=3\*GB3③当3≤x4时，

=4\*GB3④当x≥4时，F(x)=1。

即

若?有分布密度

则?的分布函数

(xa1)

(a1≤xa2)

(a2≤xa3)

(a3≤xa4)

……

(ak≤xak+1)

(x≥ak+1)

若f0(x)=fk+1(x)=0，?有分布密度

则?的分布函数

0(xa1)

(a1≤xa2)

(a2≤xa3)

(a3≤xa4)

……

(ak≤xak+1)

1(x≥ak+1)

（3）P{1x≤7/2}=F(7/2)-F(1)

=41/48。

=41/48。

连续型随机变量?的分布函数F(x)是连续函数。所以，对于任何实数a，P{?=a}=F(a)-F(a-)=0。

或者，取?a0，有

=，

所以，P{?=a}=0。

注：①连续型随机变量与离散型随机变量有区别：

对离散型随机变量，

必定存在某个k，使P{?=ak}=pk0；

而对连续型随机变量?，P{?=a}=0，(?a∈R)。

=2\*GB3②连续型随机变量?的分布函数为F(x)，分布密度是f(x)，则

事实上，对任何实数ab有

P{a≤x≤b}=P{ax≤b}=P{a≤xb}=P{axb}

=F(b)-F(a)

；

记，，

则P{x≤b}=P{xb}=F(b)-0=F(b)-F(-∞)

=（a是-∞）

P{x≥a}=P{xa}

=1-P{?≤a}

=1-F(a)=F(+∞)-F(a)=（b是+∞）

P{-∞x+∞}

=1-0=F(+∞)-F(-∞)=（a是-∞且b是+∞）

P{??(a,b)}=F(b)-F(a)

（a可以是，b可以是）

③A=??P(A)=0；反之P(A)=0时，未必有A=?。

由?的分布函数F(x)求分布密度f(x)：

?的分布函数F(x)是连续函数，且除去有限个点，F’(x)

存在且连续，则取

就有。

于是，?是连续型随机变量，f(x)是?的分布密度。

例如：?的分布函数

，

取，

则f(x)是?的分布密度。

/*

线密度：；

概率密度：

=。*/

/*分布函数F=Fc+Fd+Fs

（绝对连续部分+离散部分+奇异部分）

康托尔(Cantor)函数

在x0处，定义F(x)=0；x1处，定义F(x)=1；

一般地，在长度为1/3n的2n?1个开区间上依次取值1/2n、3/2n、5/2n、…、(2n-1)/2n等等，在

(1/3,2/3)∪(1/9,2/9)∪(7/9,8/9)∪(1/27,2/27)∪(7/27,8/27)∪(19/27,20/27)∪(25/27,26/2