2026年高考数学一轮总复习考点规范练59最值与范围问题.docxVIP

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课时规范练59最值与范围问题

1.(12分)(2020·新高考Ⅱ,21)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0),点M(2,3)在E上,

(1)求E的方程;

(2)设N为E上的点,求△AMN面积的最大值.

2.(17分)(2024·山东济宁模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C左支交于A,B两点,求k的取值范围;

(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.

3.(15分)已知抛物线C:x2=2py(p0)的通径长为12,若抛物线C上有一动弦AB的中点为M,且弦AB的长度为3.

(1)抛物线C的方程;

(2)点M的纵坐标的最小值.

4.(18分)(2024·上海,20)双曲线Γ:x2-y2b2=1(b0),A1,A2为左、右顶点,过点M(-2,0)的直线l交双曲线Γ于两点P,Q,且点

(1)若e=2时,求b;

(2)若b=263,△MA2P为等腰三角形时,求点

(3)直线OQ交Γ于点R,若A1R·A2

课时规范练59最值与范围问题

1.解:(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时,解得x=-4,所以a=4.将点M(2,3)的坐标代入椭圆E的方程,可得416+9b2=1,解得b2=12.所以

(2)设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m(m≠-4),如图所示,

当直线与椭圆相切时,与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y=m(m≠-4)与椭圆方程x216+y212=1,可得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3

即m2=64,解得m=±8,所以与AM距离比较远的直线方程为x-2y-8=0.点N到直线AM的距离d即为两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得d=8+41+4=1255,由两点之间的距离公式可得|AM|=(2+4)2+32=3

2.解:(1)设双曲线C的方程为x2a2?y2b2=1(a0,b0),由已知条件可知a=3,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线

(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),由y=kx+2,x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0,由1-3k2≠0,得k≠±33

(3)由(2)得xA+xB=62k1-3k2,

∴yA+yB=kxA+2+kxB+2=k(xA+xB)+22=221-3k2.∴AB的中点P的坐标为(32k1-3k2,21-3k2).易知直线l0的方程为y=-1kx+m,代入点P的坐标,得m=421-3

3.解:(1)由题意可知2p=12,所以抛物线C的方程为x2=12

(2)由题意可知,直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=kx+b,

A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=x1+x22

联立y=kx+b,x2=12y,得2x2-kx-b=0.所以x1+x2=k2,x1x2

又|AB|=(1+k2)[(x1+

所以y0=y1+y22=12(k

≥12(291+k

当且仅当91+k2=k2+14,即k2=5

4.解:(1)由题可得,双曲线的离心离e=2,即ca=2,所以c2a

因为a2=1,所以c2=4.

又a2+b2=c2,所以b2=3,解得b=3(舍负).

(2)由题意可得,Γ:x2-3y28=1,△MA2

①若MA2为底边,则点P在直线x=-12上,与P在第一象限矛盾,故舍去

②若A2P为底边,则|MP|=|MA2|,与|MP||MA2|矛盾,故舍去.

③若MP为底边,则|PA2|=|MA2|.

设P(x0,y0),x00,y00,则(x0

即(x0-1)2+y02=

又因为x02?3y028=1,所以(x0-1)2+(x02-1)×83=9,整理得11x02-6x0-32=0,解得x0=2(舍负

(3)由题知A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2),由题知直线l的斜率k满足0kb,设直线l:x=my-2(m1b

联立x=my-2(m1b),x2-y2b2=1,整理得

由根与系数的关系可得,y

A1R=(-x2+1,-y2),A2P=(x1-1,y1),又由A1R·A2P=1,得(-x2+1)(

即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,

即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,

化简后可得到(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=0,

将①②代入上式整理可得3b2(m2+1)-12m2b2+10(b2m2-1)=0,

化简得b2m2+3b2-10