2026年高考数学一轮总复习考点规范练42数列中的综合问题.docxVIP

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课时规范练42数列中的综合问题

1.(10分)(2022·全国甲,理17)设Sn为数列{an}的前n项和.已知2Snn+n=2an

(1)证明:{an}是等差数列;

(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.

2.(15分)(2024·河南新乡期末)在数列{an}中,已知a1=3,an+1=4an+3n-1.

(1)证明数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;

(2)设bn=2n-1,若数列{an}与{bn}的公共项为bm,记m由小到大构成数列{cn},求{cn}的前n项和Sn.

3.(17分)(2024·福建三明三模)已知数列{an}满足a1a2…an-1an=(2)n2+n,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式(-1)ntSn-14≤Sn2对任意的n∈N*恒成立,求实数

(3)记bn=1log2an2,求证:b1-b2b

4.(17分)(2025·北京高三期中)已知数列{an}:a1,a2,a3,…,an(n≥3)的各项均为正整数,设集合T={x|x=aj-ai,1≤ij≤n},记T的元素个数为P(T).

(1)若数列{an}:1,3,5,6,直接写出集合T和P(T)的值;

(2)若{an}是递减数列,求证:“{an}为等差数列”的充要条件是“P(T)=n-1”;

(3)已知数列{an}:2,22,23,…,2n,求P(T).

课时规范练42数列中的综合问题

1.(1)证明:由2Snn+n=2an+1,变形为2Sn=2nan+n-n2,记为

又当n≥2时,有2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2,记为②式,

①-②并整理可得(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,n∈N*.

即an-an-1=1,n≥2,n∈N*,

所以{an}是等差数列.

(2)解:由题意可知a72=a4a

即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,

所以an=-12+(n-1)×1=n-13,其中a1a2…a120,a13=0,

则Sn的最小值为S12=S13=-78.

2.解:(1)在数列{an}中,已知an+1=4an+3n-1,可得an+1+n+1=4an+4n=4(an+n).又a1+1=4≠0,所以an+1+n+1an+n=4.所以数列{an+n}是首项为4,公比为4的等比数列,所以an+n=4×4n-1=4n,可得an=4n-n,即数列{an

(2)因为bn=2n-1,所以bm=2m-1.

由数列{an}与{bn}的公共项为bm,可得2m-1=4n-n,

所以m=4n

注意到m为正整数,只要n-1=2k(k∈N),即n=2k+1(k∈N),所以m=24k+1-k(k∈N).所以cn=24n-3-(n-1),n∈N*,所以Sn=2

3.(1)解:当n=1时,a1=(2)2=2;

当n≥2时,an=a1a2…an-1an

因为a1=2符合上式,所以an=2n.

(2)解:由an=2n得,Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,显然Sn≥S1=2,故由(-1)ntSn-14

当n为偶数时,t≤Sn+14S

当n为奇数时,t≥-(Sn+14Sn

设函数f(x)=x+14x,x

则f(x)=x+14x≥214,当且仅当x=14x,即x=14时

因为S1=2,S2=6,S114S2,且S1+14S1=9,S2+

所以当n为偶数时,Sn+14Sn的最小值为S2+14S2=

当n为奇数时,-(Sn+14Sn)的最大值为-(S1+14S1)=-9,得t

所以t∈[-9,253]

(3)证明:由(1)得bn=1

因为12

2n

所以b1-b2b1+b2-b3b2+…+bn-bn+1bn2×(11?12

4.(1)解:∵数列{an}:1,3,5,6,∴3-1=2,5-1=4,6-1=5,5-3=2,6-3=3,6-5=1,∴集合T={1,2,3,4,5},P(T)=5.

(2)证明:若{an}为等差数列,且{an}是递减数列,设{an}的公差为d(d0),

则当1≤ij≤n时,aj-ai=(j-i)d,

∴T={d,2d,3d,…,(n-1)d},P(T)=n-1;

若{an}为递减数列,P(T)=n-1,则a2-a1a3-a1a4-a1…an-a1,

∴a2-a1,a3-a1,a4-a1,…,an-a1∈T,且互不相等,则T={a2-a1,a3-a1,a4-a1,…,an-a1},又a3-a2a4-a2…an-a2an-a1,∴a3-a2,a4-a2,…,an-a2,an-a1∈T,且互不相等,∴a3-a2=a2-a1,a4-a2=a3-a1,…,an-a2=an-1-a1,则a2-a1=a3-a2=a4-a