2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第一章1.31.3.1

A组·基础自测

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为(A)

A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)

C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)

[解析]点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为(3，－1,5)，故选A.

2．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是(B)

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于z轴对称 D．关于原点对称

[解析]纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．

3．若点P(－4，－2,3)关于Oxy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(D)

A．7 B．－7

C．－1 D．1

[解析]由题意，知点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，所以c＋e＝－3＋4＝1.

4．(多选题)下列各命题正确的是(ABD)

A．点(1，－2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)

B．点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－3))关于y轴的对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，3))

C．点(2，－1,3)到平面yOz的距离为1

D．设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2,4)

[解析]A项，关于平面xOz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则(1，－2,3)的对称点为(1,2,3)，正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－3))的对称点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，3))，正确；C项，空间点到平面yOz的距离为该点x坐标值的绝对值，则(2，－1,3)到面yOz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝(3，－2,4)，正确；故选ABD.

5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝eq\f(1,4)A1B1，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于(C)

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)，－1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0，1))

C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0，－1))

[解析]{eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))}为单位正交向量，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1E,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，1)).

二、填空题

6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝_0__.

[解析]由题可知B(1,0，－1)，则x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.

7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为_(4,0，－1)__.

[解析]A、B中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋5,2)，\f(2－2,2)，\f(－4＋2,2)))＝(4,0，－1)．

8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为_(5,4,1)__.

[解析]设B(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝4，,\f(y＋2,2)＝3，,\f(z＋1,2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4，,z＝1.))

∴B(5,4,1)．

三、解答题

9．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，