2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时夹角问题素养作业新人教A版选择性必修第一册.doc

第一章1.41.4.2第2课时

A组·基础自测

一、选择题

1．若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于(D)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°.

2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(A)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

[解析]取AB的中点D，连接CD，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

可得A(1,0,0)，A1(1,0,3)，故eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,3)，而B1(－1,0,3)，C1(0，eq\r(3)，3)，设平面AB1C1的法向量为m＝(a，b，c)，

根据m·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，m·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0，解得m＝(3，－eq\r(3)，2)，cos〈m，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝eq\f(m·\o(AA1,\s\up6(→)),|m||\o(AA1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.

3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(C)

A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)

[解析]如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.

由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，

则B(0,0,0)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，C1(2,0,2)．

所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，

所以cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(2)×\r(8))＝eq\f(1,2)，所以异面直线EF和BC1的夹角为eq\f(π,3).

4．已知ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则平面ABC与平面AB1D夹角的大小为(A)

A．45° B．60°

C．75° D．30°

[解析]如图所示，以A为原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

∵ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，

∴A(0,0,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，C1(0，a，a)，∴AB1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(a,2)，a))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(a,2)))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(a,2))).

设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，

∵n·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)x＋\f(a,2)y＋az＝0，,ay＋\f(a,2)z＝0，))取y＝1，则z＝－2，x＝eq\r(3)，

∴n＝(eq\r(3)，1，－2)．

又∵平面ABC的法向量为m＝(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－2,\r(3＋1＋4))＝－eq\f(\r(2),2).

则平面ABC与平面AB1D夹角的大小为45°.故选A.

5．(多选题)(2023·山东威海高二月考)在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以eq\o(