2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP
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第一章1.41.4.1第2课时
A组·基础自测
一、选择题
1.若u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是(B)
A.α,β平行 B.α,β垂直
C.α,β重合 D.α,β不垂直
[解析]∵u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,∴平面α⊥平面β.
2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是(A)
A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)
[解析]选项A:∵P(2,3,3),∴eq\o(MP,\s\up6(→))=(1,4,1),则n·eq\o(MP,\s\up6(→))=6-12+6=0,∴eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n,∴P(2,3,3)在α内,故A正确,同理B,C,D不正确.
3.已知平面α的法向量为n=(2,-2,4),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为(A)
A.AB⊥α
B.AB?α
C.AB与α相交但不垂直
D.AB∥α
[解析]平面α的法向量为n=(2,-2,4),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,-2),∴n=-2eq\o(AB,\s\up6(→)),∴n∥eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥α,即直线AB与平面α垂直.故选A.
4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(-1,2,3),B(0,-2,4),C(2,1,2),若存在一点P,使得CP⊥平面OAB,则P点坐标可能为(AD)
A.(-12,-3,0) B.(7,2,-4)
C.(6,3,5) D.(-5,-1,1)
[解析]设P(x,y,z),由CP⊥平面OAB,可得CP⊥OA,CP⊥OB,
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CP,\s\up6(→))·\o(OA,\s\up6(→))=0,,\o(CP,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))=0,))
可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+2y+3z-6=0,,-2y+4z-6=0,))
将四个选项代入检验可得正确选项
将(-12,-3,0)代入满足方程组,所以选项A正确;
将(7,2,-4)代入不满足方程组,所以B不正确;
将(6,3,5)代入不满足方程组,所以C不正确;
将(-5,-1,1)代入满足方程组,所以D正确.故选AD.
5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(AC)
A.和AC垂直 B.和AA1垂直
C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直
[解析]以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
设正方体的棱长为2,则
D(0,0,0),D1(0,0,2),
M(0,0,1),A(2,0,0),
C(0,2,0),O(1,1,0),N(0,1,2),∴eq\o(OM,\s\up6(→))=(-1,-1,1),eq\o(MN,\s\up6(→))=(0,1,1),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,2,0),
eq\o(AA1,\s\up6(→))=eq\o(DD1,\s\up6(→))=(0,0,2),
∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))=0,eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))=2,
∴OM⊥AC,OM⊥MN,故选AC.
二、填空题
6.同时垂直于a=(2,2,1)、b=(4,5,3)的单位向量是
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),-\f(2,3),\f(2,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),\f(2,3),-\f(2,3))).
[解析]设所求向量为c=(x,y,z),
则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+2y+z=0,,4x+5y+3z=0,,x2+y2+z2=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(1,3),,y=-\f(2,3),,z=\f(2,3),))或eq\b\lc\{\rc\(\a
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