2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直素养作业新人教A版选择性必修第一册.doc

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标题空间向量与立体几何14空间向量的应用141用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直素养作业新人教A版选择性必修第一册内容1空间向量的应用空间向量的研究不仅可以用来描述物体的运动状态,还可以用来表示平面之间的相对位置关系2空间中的直线平面直线平面是指一个平面,其中的任意一条直线都沿这条直线的方向通过该平面直线平面的意义在于它可以用来表示平面的空间形状以及在空间中移动物体的情况3高级数学本部分介绍了空间向量的一些高级概念和应用,

第一章1.41.4.1第2课时

A组·基础自测

一、选择题

1.若u=(2,-2,2)是平面α的一个法向量,v=(1,2,1)是平面β的一个法向量,则下列命题正确的是(B)

A.α,β平行 B.α,β垂直

C.α,β重合 D.α,β不垂直

[解析]∵u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2×2+2×1=0,∴u⊥v,∴平面α⊥平面β.

2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是(A)

A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)

C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)

[解析]选项A:∵P(2,3,3),∴eq\o(MP,\s\up6(→))=(1,4,1),则n·eq\o(MP,\s\up6(→))=6-12+6=0,∴eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n,∴P(2,3,3)在α内,故A正确,同理B,C,D不正确.

3.已知平面α的法向量为n=(2,-2,4),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为(A)

A.AB⊥α

B.AB?α

C.AB与α相交但不垂直

D.AB∥α

[解析]平面α的法向量为n=(2,-2,4),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-1,1,-2),∴n=-2eq\o(AB,\s\up6(→)),∴n∥eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥α,即直线AB与平面α垂直.故选A.

4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(-1,2,3),B(0,-2,4),C(2,1,2),若存在一点P,使得CP⊥平面OAB,则P点坐标可能为(AD)

A.(-12,-3,0) B.(7,2,-4)

C.(6,3,5) D.(-5,-1,1)

[解析]设P(x,y,z),由CP⊥平面OAB,可得CP⊥OA,CP⊥OB,

即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CP,\s\up6(→))·\o(OA,\s\up6(→))=0,,\o(CP,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))=0,))

可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x+2y+3z-6=0,,-2y+4z-6=0,))

将四个选项代入检验可得正确选项

将(-12,-3,0)代入满足方程组,所以选项A正确;

将(7,2,-4)代入不满足方程组,所以B不正确;

将(6,3,5)代入不满足方程组,所以C不正确;

将(-5,-1,1)代入满足方程组,所以D正确.故选AD.

5.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(AC)

A.和AC垂直 B.和AA1垂直

C.和MN垂直 D.与AC,MN都不垂直

[解析]以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

设正方体的棱长为2,则

D(0,0,0),D1(0,0,2),

M(0,0,1),A(2,0,0),

C(0,2,0),O(1,1,0),N(0,1,2),∴eq\o(OM,\s\up6(→))=(-1,-1,1),eq\o(MN,\s\up6(→))=(0,1,1),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,2,0),

eq\o(AA1,\s\up6(→))=eq\o(DD1,\s\up6(→))=(0,0,2),

∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))=0,eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))=2,

∴OM⊥AC,OM⊥MN,故选AC.

二、填空题

6.同时垂直于a=(2,2,1)、b=(4,5,3)的单位向量是

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),-\f(2,3),\f(2,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),\f(2,3),-\f(2,3))).

[解析]设所求向量为c=(x,y,z),

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+2y+z=0,,4x+5y+3z=0,,x2+y2+z2=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(1,3),,y=-\f(2,3),,z=\f(2,3),))或eq\b\lc\{\rc\(\a

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