2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第一章1.31.3.2

A组·基础自测

一、选择题

1．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a－b|等于(B)

A．1 B．eq\r(3)

C．3 D．9

[解析]∵a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，

∴a－b＝(1,1,1)，∴|a－b|＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).

2．已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(C)

A．a＝3，b＝－3 B．a＝6，b＝－1

C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1

[解析]根据题意eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，－2，b＋4)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，

∴(a－1，－2，b＋4)＝(λ，－λ，3λ)，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝λ，,－2＝－λ，,b＋4＝3λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,λ＝2，))故选C.

3．已知向量a＝(1,2,0)，b＝(0,2,1)，a，b的夹角为θ，则sinθ＝(A)

A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)

C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)

[解析]∵向量a＝(1,2,0)，b＝(0,2,1)，a，b的夹角为θ，

∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(4,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，

∴sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).故选A.

4．已知空间四点A(1,2，－1)，B(2,5,1)，C(－3,2,0)，D(－1,3,2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))的投影向量为(C)

A．(6eq\r(14)，3eq\r(14)，6eq\r(14))

B．(2eq\r(14)，eq\r(14)，2eq\r(14))

C．(2,1,2)

D．(6,3,6)

[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2,1,2)，

∴eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))的投影向量为eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2＋3＋4,9)·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2,1,2)．

5．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是(AD)

A．cos〈a，b〉＝－eq\f(2,5) B．a⊥b

C．a∥b D．|a|＝|b|

[解析]因为向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，

所以|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2,5).

所以A正确，B不正确，D正确，C显然也不正确．

二、填空题

6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝_－1__.

[解析]∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.

7．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ＝－eq\f(\r(6),6).

[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，∴cos120°＝eq\f(?\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→))?·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\