2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课时素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第一章1.41.4.1第1课时

A组·基础自测

一、选择题

1．已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把eq\o(AB,\s\up6(→))沿x轴正方向平移2个单位后所得的向量是(B)

A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1)

C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0)

[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的，是与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．

2．(多选题)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(AB)

A．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，b＝(－2，－4,0)

B．a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)

C．a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)

D．a＝(－2，－1,1)，b＝(4，－2，－8)

[解析]对于A，易知a＝－eq\f(1,4)b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2.故选AB.

3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(D)

A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)

C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)

[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，

设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，))即x＝y＝z，故选D.

4．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则(D)

A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)

C．x＝10，y＝15 D．x＝10，y＝eq\f(25,2)

[解析]∵l1∥l2，∴a∥b，

∴eq\f(5,2)＝eq\f(x,4)＝eq\f(y,5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝\f(25,2).))

5．(多选题)(2024·武汉高二检测)已知空间中三点A(0，1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则下列说法正确的是(BD)

A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))是共线向量

B．与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))

C.eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值是eq\f(\r(55),11)

D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)

[解析]对于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，可知eq\o(AB,\s\up6(→))≠λeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，A错误；对于B，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，所以eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))，即与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))，B正确；对于C，因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,1,1)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－5,\r(5)×\r(11))＝－eq\f(\r(55),11)，即eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq\f(\