2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第二章2.22.2.1

A组·基础自测

一、选择题

1．经过点(－3,2)，斜率为eq\r(3)的直线方程是(C)

A．y＋2＝eq\r(3)(x－3) B．y－2＝eq\f(\r(3),3)(x＋3)

C．y－2＝eq\r(3)(x＋3) D．y＋2＝eq\f(\r(3),3)(x－3)

[解析]由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确．

2．经过两点A(－3,2)，B(0，－3)的直线的方程为(D)

A．y＋3＝eq\f(1,3)x B．y－2＝－eq\f(1,3)(x＋3)

C．y＋3＝eq\f(5,3)x D．y－2＝－eq\f(5,3)(x＋3)

[解析]因为直线的斜率为k＝eq\f(2＋3,－3)＝－eq\f(5,3)，所以直线的方程为y－2＝－eq\f(5,3)(x＋3)．故选D.

3．直线y－4＝－eq\r(3)(x＋3)的倾斜角和所经过的定点分别是(B)

A．30°，(－3,4) B．120°，(－3,4)

C．150°，(3，－4) D．120°，(3，－4)

[解析]斜率k＝－eq\r(3)，过定点(－3,4)．

4．已知直线l与直线y＝eq\f(1,2)x＋4互相垂直，直线l在y轴上的截距与直线y＝x＋6在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为(A)

A．y＝－2x＋6 B．y＝2x＋6

C．y＝eq\f(1,2)x＋6 D．y＝－eq\f(1,2)x＋6

[解析]∵直线l与直线y＝eq\f(1,2)x＋4垂直，∴直线l的斜率k＝－2.又∵直线l的截距b＝6，∴直线l的方程为y＝－2x＋6.

5．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(A)

A．a0，c0 B．a0，c0

C．a0，c0 D．a0，c0

[解析]∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，

∴直线的斜率a0，在y轴上的截距c0.

二、填空题

6．在平面直角坐标系中，下列三个结论：

①每一条直线都有点斜式方程；

②方程k＝eq\f(y＋1,x－2)与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；

③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.

其中正确结论的序号为_③__.

[解析]点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点(2，－1)不在方程k＝eq\f(y＋1,x－2)所表示的直线上，所以②错误．③显然正确．

7．直线l的方向向量为(1,3)，且在y轴上的截距为－2的斜截式方程为_y＝3x－2__.

[解析]由于直线l的方向向量为(1,3)，也就是直线的斜率为k＝3，又因直线在y轴上的截距为－2，故方程为y＝3x－2.

8．若直线y＝2x－2绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为y－4＝－eq\f(1,2)(x－3).

[解析]逆时针旋转90°即与y＝2x－2垂直，由于y＝2x－2的斜率为2，则所求直线的斜率为－eq\f(1,2)，又因过点(3,4)，故直线方程为y－4＝－eq\f(1,2)(x－3)．

三、解答题

9．三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．

(1)求BC边上的高所在直线的点斜式方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的斜截式方程．

[解析](1)BC边所在直线的斜率为

kBC＝eq\f(7－3,6－0)＝eq\f(2,3)，因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为－1，所以BC高线的斜率为－eq\f(3,2).又因为BC高线所在的直线过A(4,0)，

所以BC高线所在直线的点斜式方程为

y－0＝－eq\f(3,2)(x－4)．

(2)设BC中点为M，则中点M(3,5)，又kAM＝－5，所以BC边上的中线AM所在直线的点斜式方程为y－5＝－5(x－3)，化为斜截式方程为y＝－5x＋20.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列图形中，正确的是(D)

[解析]逐一判定即可．对于选项A，由l1的图象知a0，b0，由l2的图象知a0，b0，矛盾，故A错误；对于选项B，由l1的图象知a0，b0，由l2的图象知a0，b0，矛盾，故B错误；对于选项C，由l1的图象知a0，b0，由l2的图象知a0，b0，矛盾，故C错误；对于选项D，由l1的图象知a0，b0，由l2的图象知a0，b0，故D正确．

2．(多选题)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为(AB)

A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0

C．2x－y－2＝0 D．2x＋y－10＝0

[解析]由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)，由点斜