2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离素养作业新人教A版选择性必修第一册.docVIP

第二章2.32.3.32.3.4

A组·基础自测

一、选择题

1．已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(C)

A．(－6,0) B．(－12,0)

C．(－12,0)或(8,0) D．(－6,0)或(6,0)

[解析]设P(x,0)．由点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x－4×0＋6)),\r(32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4))2))＝6，即|3x＋6|＝30，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．故选C.

2．已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(A)

A．1 B．2

C．eq\f(1,2) D．4

[解析]由两条直线平行可得eq\f(5,10)＝eq\f(12,m)，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－10)),\r(52＋122))＝1.

3．原点到直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)的距离为(B)

A．1 B．eq\r(5)

C．2 D．3

[解析]直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)，即x＋2y－5＝0，

故原点到直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)的距离为eq\f(5,\r(1＋4))＝eq\r(5).

4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(C)

A.eq\f(9,5) B．eq\f(18,5)

C．eq\f(29,10) D．eq\f(29,5)

[解析]因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠－eq\f(12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).

5．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(C)

A．(0，＋∞) B．[0,5]

C．(0,5] D．[0，eq\r(17)]

[解析]当两条平行直线l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝eq\r(?－1－2?2＋?3＋1?2)＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0,5]．

二、填空题

6．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是_5__.

[解析]两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5.

7．若点(2,1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的方程为_x＝0或3x＋4y＝0__.

[解析]因为点(2,1)到直线l：ax＋by＝0的距离为2，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b)),\r(a2＋b2))＝2，化简得4ab－3b2＝0，所以b＝0或4a＝3b，所以直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

8．已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则|MP|的最小值是eq\r(5).

[解析]由kx＋y＋2－k＝0得y＋2＝k(1－x)，所以直线l过定点M(1，－2)，依题意可知|MP|的最小值就是点M到直线2x－y＋1＝0的距离，由点到直线的距离公式可得|MP|min＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋2＋1)),\r(4＋1))＝eq\r(5).

三、解答题

9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．

[解析]方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k.

又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.

由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，

得eq\f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，

解得k＝0或k＝1.

∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.

方法二：当直线l过线段AB的中点时，

直线l与点A，B的距离相等．

∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P