《概率论与数理统计》教案 第25课 双正态总体均值与方差的区间估计、单侧置信区间.docx

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课题

双正态总体均值与方差的区间估计、单侧置信区间

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

掌握双正态总体均值与方差的区间估计

（2）理解单侧置信区间的概念

素质目标：

（1）帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系

（2）培养学生的辩证唯物主义观

教学重难点

教学重点：单侧置信区间的概念

教学难点：双正态总体均值与方差的区间估计

教学方法

讲练结合法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解双正态总体均值与方差的区间估计及单侧置信区间的相关知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

互动导入

【教师】提出问题：

请举例说明，在什么情况下会对两个对象的同一特征进行比较？

【学生】思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解双正态总体均值与方差的区间估计及单侧置信区间的相关知识

二、双正态总体均值与方差的区间估计

在实际中，常常要对两个对象的同一特征进行比较，如电子元件、药品、原材料、生产线等．下面在正态总体的情形下展开讨论．

设是分别来自两个相互独立的正态总体和的样本，分别是两样本的均值和方差，给定置信水平为．下面主要讨论两个总体均值差和方差比的区间估计．

1．两个正态总体均值差的区间估计

由样本的独立性可知，和是独立的，所以

，

．

因此，服从正态分布．经标准化后可得

．（7-12）

下面对此分情况进行讨论．

（1）当都已知时

记，，，由上面的讨论可知，，因此，求两个正态总体均值差的区间估计就相当于求单个正态总体的参数为的区间估计．

由于都已知，所以已知，故给定置信度，由式（7-12）知，正态总体的参数为的区间估计为

，（7-13）

即正态总体均值差的置信区间为

．（7-14）

【教师】通过例题，介绍都已知时置信区间的求法

例5两台机床加工同一种轴，第一台机床加工的轴的椭圆度X（单位：mm）服从方差为的正态分布，第二台机床加工的轴的椭圆度Y服从方差为的正态分布．现分别从两台机床所加工的轴中随机抽取200根和150根，测量其椭圆度，经计算得：第一台机床：；第二台机床：．给定置信度为95%，试求两台机床加工的轴的平均椭圆度之差的置信区间．

……（解析详见教材）

（2）当未知，但时

由式（7-12）可知，分布，但若未知，这时该怎么样构造统计量呢？

根据统计量的抽样分布定理知

．

故给定置信度，由式（7-7）得正态总体均值差的置信区间为

，（7-15）

其中，．

【教师】通过例题，介绍未知，但时置信区间的求法

例6某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水，现从生产线上分别随机抽取样本和，测量每瓶所装矿泉水的体积（单位：mL）．计算得到样本均值，，样本方差，，设这两条流水线所装的矿泉水体积都服从正态分布，分别为和．求的置信度为0.95的置信区间．

……（解析详见教材）

（3）当未知，且，但容量很大（大于50）时

这时可用估计量来近似代替，用估计量来近似代替，于是这与已知时的情况一样，由式（7-14）可知，正态总体均值差的置信度为的置信区间为

．（7-16）

2．两个正态总体方差比的区间估计

设两个独立正态总体为，，其中均未知．现分别取总体X和Y的两个子样和，下面考虑在这种情况下方差比的区间估计问题．

（1）当已知时

由分布的定义可得

，

并且它们之间相互独立，所以

．

给定置信度，则存在，，使

，

整理得

．

因此，的置信度为的置信区间为

，（7-17）

或

．（7-18）

同理可得，的置信度为的置信区间为

，（7-19）

或

．（7-20）

（2）当未知时

根据统计量抽样分布定理知

．

给定置信度，则存在，，使

，

整理得

．

因此，的置信度为的置信区间为

，（7-21）

或

．（7-22）

同理可得，的置信度为的置信区间为

，（7-23）

或

．（7-24）

【教师】通过例题，介绍当未知时置信区间的求法

例7某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布．现在从A和B两个不同班次的产品中各抽取了5个套筒，测量它们的直径，得如下数据（单位：mm）：

A班：2.066，2.063，2.068，2.060，2.067；

B班：2.058，2.057，2.063，2.0