高考数学二轮复习压轴题专题20 立体几何与空间向量（解答题压轴题）（教师版）.docVIP

专题20立体几何与空间向量（解答题压轴题）

目录

TOC\o1-2\h\u1、直线与平面所成角问题 1

①求直线与平面所成角定值问题 1

②求直线与平面所成角最值或范围问题 9

③直线与平面所成角中探索性问题 16

2、平面与平面所成角问题 26

①求平面与平面所成角定值问题 26

②求平面与平面所成角最值或范围问题 34

③平面与平面所成角中探索性问题 44

3、体积（距离）问题 51

4、折叠问题 58

1、直线与平面所成角问题

①求直线与平面所成角定值问题

1．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底面圆O上两点，∠AOB=2π3，E为PB中点，点F在线段AB上，且

??

(1)证明：平面AOP⊥平面OEF

(2)若OP=AB，求直线AP与平面OEF所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)39

【详解】（1）设圆O的半径为r，

在△AOB中，OA=OB=r，∠AOB=2π

故AB=3r，又AF=2FB，故

在△AOF中，由余弦定理得O

所以OA2+O

圆锥中，PO⊥底面⊙O，OF?底面⊙

又OA∩OP=O，所以OF⊥平面AOP

又OF?平面OEF，所以平面AOP⊥平面

（2）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，

不妨设OA=3，则OP=AB=3OA=3

则A(3，0，0)，P(0，0，3)，B?32

AP=(?3，0，3)，OE

设平面OEF的一个法向量为n=(x，y，z)

有n?OE=0n?

设直线AP与平面OEF所成角为θ，

则sinθ

??

2．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=2，F，G分别是PB，PD的中点，E是PA上一点，且AP=3AE.

??

(1)求证：BD//平面EFG；

(2)若SKIPIF10，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【详解】（1）证明：SKIPIF10，F分别为PD，PB中点，∴GF//DB，

又BD?平面GEF，GF?平面GEF

SKIPIF10平面EFG；

（2）底面ABCD是边长为2的菱形，所以AC⊥BD，又PO⊥平面ABCD，OA,OB?平面ABCD，

所以PO⊥

如图所示，以O为原点，以SKIPIF10所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

??

∵SKIPIF10，底面ABCD是边长为2的菱形，∴OA=1,OD=OB=3，

则A(1,0,0),B(0,3,0),D(0,?3,0)，

SKIPIF10PA=(1,0,?2),AP=(?1,0,2),OA=(1,0,0)

又AP=3AE，SKIPIF10AE=13AP，SKIPIF10OE=OA+13

∴E(23,0,

设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)

则n?EF=?23x+32y+

设直线PA与平面EFG所成角为θ．θ

则sinθ=PA

所以直线PA与平面EFG所成角的余弦值45

3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）如图，平行六面体ABCD?A1B

??

(1)求点B到平面ACC

(2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6，求直线

【答案】(1)1

(2)6

【详解】（1）在平行六面体ABCD?A1B

SKIPIF10，

设点B到平面ACC1A1的距离为d，则SKIPIF10，所以d=1，

即点B到平面ACC

（2）在?ABCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O，则BO=1，

由（1）知点B到平面ACC1A1的距离为1，所以

设点A1在直线AC上射影为点SKIPIF10，

则A1H=3，且SKIPIF10，

所以O和SKIPIF10重合，即A1O⊥AO．

以O为坐标原点，SKIPIF10分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则SKIPIF10，

根据AA1=DD1=(?

SKIPIF10，设平面CC1D1D的一法向量为n

则DD1?n=?

设直线BD1与平面CC1D

所以直线BD1与平面CC

??

4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知