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PAGE PAGE 1 课时 9 一元二次方程及其应用 【课前热身】 方程3x(x ?1) ? 0 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 关于x 的一元二次方程(n ? 3)xn ?1 ? (n ?1)x ? 3n ? 0 中，则一次项系数是 . 一元二次方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的根是 . 某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元，2007 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长 率为 x，则可以列出方程为 . 关于 x 的一元二次方程 x2 ? 5x ? p2 ? 2 p ? 5 ? 0 的一个根为 1，则实数 p =（ ） A． 4 B． 0 或2 C．1 D． ?1 【考点链接】 一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 一元二次方程的常用解法： 直接开平方法：形如 x 2 ? a(a ? 0) 或(x ? b)2 ? a(a ? 0) 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. 配方法：用配方法解一元二次方程 ax 2 bx ? c ? o?a ? 0?的一般步骤是：①化二 次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化 原方程为(x ? m)2 ? n 的形式，⑤如果是非负数，即 n ? 0 ，就可以用直接开平方 求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解. 公式法：一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式是 x 1,2 ?b ? b2 ? 4ac? (b2 ? 4ac ? b2 ? 4ac 2a 因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程， 解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 易错知识辨析： 判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断 ，注意一元二次方程一般形式中a ? 0 . 用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. 用配方法时二次项系数要化1. 用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】 例 1 选用合适的方法解下列方程： （1） (x ? 4)2 ? 5(x ? 4) ； （2） (x ? 1)2 ? 4x ； （3） (x ? 3)2 ? (1 ? 2x)2 ； （4） 2x 2 ? 10x ? 3 . 例 2 已知一元二次方程（m ?1）x2 ? 7mx ? m2 ? 3m ? 4 ? 0 有一个根为零，求m 的值. 例 3 用 22 长的铁丝，折成一个面积是30 ㎝ 2 的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是 32 ㎝ 2 的矩形呢？为什么？ 【中考演练】 1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是 . 3 已知 2 是关于x 的方程 2 x2－2 a＝0 的一个解，则 2a－1 的值是 . 关于 y 的方程2 y2 ? 3 py ? 2 p ? 0 有一个根是 y ? 2 ，则关于 x 的方程 x2 ? 3 ? p 的解为 . 下列方程中是一元二次方程的有（ ） y 2 ①9 x2=7 x ② 3 =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0 2104 2 10 ⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0 x 2 A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤ 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1 化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c 的值为 A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为 1，一次项的系数为－1，则 m 的值为（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 解方程 (1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）； 2(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x 2 2 2 x+1=0． 某商店 4 月份销售额为 50 万元，第二季度的总销售额为 182 万元，若 5、6 两个月的月增长率相同，求月增长率．