27.2.8 相似三角形的常见模型-知识点专练九年级数学下册同步课后练习(人教版)(解析版）.docxVIP

27.2.8 【专题】相似三角形的常见模型 学习必知： 判断三角形相似的方法有五种 平行与三角形一边且与其他两边（延长线）相交，所围成的新三角形与原三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 类型一 A型及其变形 △ADB∽△ABCDE与BC不平行 △ADB∽△ABC DE与BC不平行 反A型 △ADE∽△ABC DE∥BC A型 △ADE∽△ABC 1．（2019·内蒙古赤峰·中考真题）如图，分别是边上的点，，若，则的长是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 解得， ， 故选C． 【点睛】 本题考查分线段成比例定理，熟练掌握运算法则是解题关键 2．（2021·全国·九年级单元测试）如图，与相交于点，点在上，且，若 ，，则的长为________. 【答案】 【分析】 证明、，得到，代入计算得到答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 3．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）若AG平分∠BAC，求证：． 【答案】（1）见解析．（2）见解析 【分析】 （1）根据∠DAE＝∠CAB这个公共角，利用双角对应相等法证明相似即可． （2）运用双角对应相等法，证明△ADF∽△ACG即可． 【详解】 （1）∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B， ∴△AED∽△ABC． （2）∵AG平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠CAG， ∵△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠ACG， ∴△ADF∽△ACG， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 4．（2021·河南洛宁·九年级期中）（基础巩固） （1）如图1，在中，为上一点，．求证：． （尝试应用） （2）如图2，在中，为上一点，为延长线上一点，．若，，求的长． （拓展提高） （3）如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）证明，即可求证； （2）根据平行四边形的性质和，可得，可证明，从而得到，即可求解； （3）分别延长，相交于点，可得四边形为平行四边形，从而得到，，，可证得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，分别延长，相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 类型二 X型及其变形 AB∥CDX型△ AB∥CD X型 △AOB∽△DOC AB与CD不平行 蝶型 △AOB∽△COD 5．（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）如图，在中，，，，，的平分线交于点，则__________． 【答案】 【分析】 由CD∥AB，∠D=∠ABE，∠D=∠CBE，可得出CD=BC=6，再证明△AEB∽△CED，得出比例线段可求出BE的长． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6， ∴AC=8， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CDE， ∵CD∥AB， ∴∠D=∠ABE， ∴∠D=∠CBE， ∴CD=BC=6， ∴△AEB∽△CED， ∴， ∴CE＝AC=×8＝3， ∴BE＝=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 6．（2018·江苏栖霞·九年级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且 ∠ABD＝∠ACD． （1）求证 ； （2）求证 ∠DAC＝∠CBD． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】 (1)由∠ABD＝∠ACD，∠AEB＝∠DEC得到△AEB∽△DEC，由相似三角形对应边成比例得出结论； (2)将(1)变形得到=，由∠AED＝∠BEC得到△AED∽△BEC，由相似三角形对应角相等得到结论. 【详解】 证明：(1)∵∠ABD＝∠ACD