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第三节 函数项级数 一、函数项级数的概念 二、收敛点与收敛域 三、和函数 四、小结 一、函数项级数的概念 定义 1 设函数列 u ( x), u ( x), L, u ( x), L 1 2 n 中的每项都在区间 I 上有定义 , 则将表达 式 u ( x) + u ( x) + L+ u ( x) + L 1 2 n 称为定义在区间 I 内的函数项级数 , 记 ﾥ ﾥ u (x) = u ( x) + u ( x) + L+ u ( x) + L. n 1 2 n n= 1 二、收敛点与收敛域 ﾥ u ( x ) 定义 2 对于 , 如果级数 x0 ﾥ I ﾥ n 0 收敛 , n= 1 则称点 x0 为函数项级数的收敛点 , 否则称 x0 为函数项级数的发散点 . 并把函数项级数的所有收敛点所构成的集合 称为级数的 收敛域 , 记为 D. 三、和函数 定义 3 在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的 函数 S(x), 称 S(x) 为函数项级数的和函数 , 记 ﾥ S (x ) = ﾥ u (x ), x ﾥ D . n n= 1 注意 函数项级数在某一点 x 的收敛问题 , 实质上 是数项级数的收敛问题 . 例 1 讨论几何 级数 ﾥ ﾥ x n- 1 = 1+ x + x 2 + L+ x n- 1 + L n= 1 的收敛域 . ﾥ 解 x n | x | 1 级数 当且仅当 时收敛 , ﾥ n= 1 (-1,1). 所以此级数的收敛域是开区间 和函数为 1 1+ x + x 2 + L+ x n-1 + L= , x �(-1,1). 1- x 例 2 求函数项级数 ﾥ ﾥ n e- nx = e- x + 2e-2 x + L+ n e- nx + L n= 1 的收敛域 . 解 对每个给定实数 x , 级数为正项级数 0 - x -2x -nx e 0 + 2e 0 + L+ n e 0 + L 因为 - (n+1) x0 un+ 1 (