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第五节 函数的幂级数展开 一、泰勒级数 二、函数的幂级数展开步骤 三、小结 思考题 一、泰勒级数 两类问 在收敛域内 题 : ﾥ 求 和 幂 级 数ﾥ a (x - x )n 和函数 S (x ) n 0 n= 0 展 开 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数 , f (x )在x 0 则在 该邻域内 有 : f (x0 ) 2 f (x ) = f (x0 ) f (x0 )(x - x0 ) (x - x0 ) 2 ! f (n) (x0 ) n (x - x0 ) Rn (x) n ! = P (x ) R (x ) n n 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公其中 式 , f (n1) ( ) n1 Rn (x) = (x - x0 ) ( 在 x 与 x (n 1) ! 0 之间 ) 称为 拉格朗日余 项 . 若函数 f (x )在x 0 的某邻域内具有任意阶导数则称, f (x0 ) 2 f (x0 ) f (x0 )(x - x0 ) (x - x0 ) 2 ! f (n) (x0 ) n ﾥ f (k ) (x 0 ) k (x - x0 ) = ﾥ (x - x0 ) n ! k =0 k ! 为 f (x) 的泰勒级 数 . 当 x = 0 时 , 泰勒级数又称为 麦克劳林级数 . (x 0 的幂级数 ) 待解决的问题 1) 对此级数 , 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 定理 1 U( x ) 内具有 设函数 f (x) 在点 x 的某一邻域 0 0 各阶导
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