(117)--高等数学C第十一章第四节.pdfVIP

第四节　高阶线性微分方程及其 通解结构 一、定义 二、二阶齐次线性微分方程的通解结构 三、二阶非齐次线性微分方程的通解结构 四、小结 一、定义 如果微分方程是关于未知函数及其各阶 导数的一次方程 , 则该方程叫做 线性微分方 程 . n 阶非齐次线性 方程的一般形式是 (n ) (n-1) ﾢ y + P (x )y + L+ P (x )y + P (x )y = f (x ). 1 n- 1 n 若 f (x)=0, 则 n 阶齐次线性 方程的一般形式 是 (n ) (n-1) ﾢ y + P (x )y + L+ P (x )y + P (x )y = 0. 1 n- 1 n 二阶非齐次线性微分方程的标准形 式 ﾢﾢ ﾢ y + p (x )y + q (x )y = f (x ). 二阶齐次线性微分方程的标准形式 ﾢﾢ ﾢ y + p (x )y + q (x )y = 0. 二、二阶齐次线性微分方程的 通解结构 y  + P (x )y  + Q(x )y = 0 (1) 定理 如果函数y (x )与y (x )是方程 (1)的两个 1 2 解,则它们的任意线性组合y = C y + C y 也是(1) 1 1 2 2 的解. （C , C 是任意常数） 1 2 问题 :y = C y + C y 一定 是通解吗？ 1 1 2 2 说明 : y = C y (x ) + C y (x ) 不一定 是方程 (1) 的通 1 1 2 2 解 . 例如 , y (x ) 是某二阶齐次方程的 则 1 解 , y (x ) = 2 y (x ) 也是齐次方程的解 . 2 1 但是 C y ( x) + C y ( x) = ( C + 2 C ) y ( x) 1 1 2 2 1 2 1 并不是通解 . 为解决通解的判别问题下面引入函数的线性相关, 与线性无关的概念 . 定义 设 y (x ), y (x ), L, y (x ) 是定义在区间 I 1 2 n 上 的 n 个函 若存在不全为 0 的常 k